A quadrado da distância do centro da circunferência x^2+2 x+y^2-4 y+2=0 à origem é:
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação de uma circunferência: x^2 + 2x + y^2 - 4y + 2 = 0. A matéria aqui envolve geometria analítica, especificamente sobre como identificar o centro de uma circunferência a partir da sua equação geral. Para resolver, vamos precisar transformar essa equação na forma padrão da circunferência e, depois, calcular a distância do centro até a origem.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da circunferência na forma padrão (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2, onde (h, k) é o centro e r é o raio. Para isso, precisamos completar o quadrado nos termos de x e y.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação agrupando os termos de x e y:
x^2 + 2x + y^2 - 4y = -2

Passo 4

Agora, completamos o quadrado para os termos de x:
x^2 + 2x = (x + 1)^2 - 1
E para os termos de y:
y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4

Passo 5

Substituímos de volta na equação:
(x + 1)^2 - 1 + (y - 2)^2 - 4 = -2
Simplificando:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 - 5 = -2

Passo 6

Isolando os termos quadrados:
(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 3
Agora, temos a equação na forma padrão, onde o centro (h, k) é (-1, 2) e o raio r é raiz3.

Passo 7

Para encontrar a distância do centro (-1, 2) até a origem (0, 0), usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores:
d = raiz(0 - (-1))^2 + (0 - 2)^2 = raiz1 + 4 = raiz5

Passo 8

A questão pede o quadrado dessa distância, então:
d^2 = (raiz5)^2 = 5

Resposta

5

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