Qual a solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
(d)
válida no intervalo
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial:
Aqui, precisamos encontrar a função
que satisfaz essa equação e que, além disso, passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais e separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a nossa passagem para a separação de variáveis. Vamos dividir ambos os lados por
:
Agora, temos uma equação na forma:
Onde
e
. Essa é uma equação diferencial não linear devido ao termo
.
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos fazer uma substituição que a torne mais fácil de tratar. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Vamos rearranjar isso para encontrar
:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação original:
Multiplicando todos os termos por
para simplificar:
Mas lembrando que
, então
. Substituindo isso na equação:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por
:
Passo 5
Agora, rearranjamos para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando por
:
Agora, temos uma equação diferencial linear para
:
Passo 6
Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Agora, resolvemos para
:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados para encontrar
:
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Passo 10
Substituindo
na expressão de
:
Podemos simplificar mais multiplicando numerador e denominador por
:
Isso corresponde à solução apresentada no enunciado.
Resposta
A solução do Problema de Valor Inicial é:
Ela é válida no intervalo
excluindo
.