Qual a solução do Problema de Valor Inicial (PVI):
{ xy' + y = x^5 y^3, y(1) = 1 }
(d) y(x) = raiz(3 / (-2 x^5 + 3 x^2)) válida no intervalo I = (-infinito, raiz(cubo(3/2))) - {0}

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial:
Aqui, precisamos encontrar a função que satisfaz essa equação e que, além disso, passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais e separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a nossa passagem para a separação de variáveis. Vamos dividir ambos os lados por :
Agora, temos uma equação na forma:
Onde e . Essa é uma equação diferencial não linear devido ao termo .

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos fazer uma substituição que a torne mais fácil de tratar. Vamos definir:
Então, a derivada de em relação a é:
Vamos rearranjar isso para encontrar :

Passo 4

Agora, substituímos na equação original:
Multiplicando todos os termos por para simplificar:
Mas lembrando que , então . Substituindo isso na equação:
Simplificando:
Dividindo todos os termos por :

Passo 5

Agora, rearranjamos para isolar :
Multiplicando ambos os lados por :
Multiplicando por :
Agora, temos uma equação diferencial linear para :

Passo 6

Vamos resolver essa equação linear usando o fator integrante. Primeiro, encontramos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Agora, resolvemos para :

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo ambos os lados para encontrar :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :

Passo 10

Substituindo na expressão de :
Podemos simplificar mais multiplicando numerador e denominador por :
Isso corresponde à solução apresentada no enunciado.

Resposta

A solução do Problema de Valor Inicial é:
Ela é válida no intervalo excluindo .

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