Em que quadrante se tem simultaneamente:
\cos \theta<0 e \operatorname{tg} \theta>0 ?

Passo 1

O enunciado pede para identificar em qual quadrante do círculo trigonométrico satisfazemos simultaneamente \cos\theta<0 e \tan\theta>0. Vamos usar o conhecimento sobre os sinais de seno, cosseno e tangente em cada quadrante.

Passo 2

Sabemos que \cos\theta<0 quando o ponto correspondente no círculo unitário tem coordenada x<0. Isso ocorre nos quadrantes II e III, pois ali a abscissa é negativa.

Passo 3

A condição \tan\theta>0 significa \displaystyle \frac{\sin\theta}{\cos\theta}>0, ou seja, seno e cosseno têm o mesmo sinal. Há duas situações:
  1. Ambos positivos → quadrante I.
  2. Ambos negativos → quadrante III.

Passo 4

Fazendo a interseção das possibilidades:
  • De \cos\theta<0: quadrantes II e III.
  • De \tan\theta>0: quadrantes I e III.
    O único quadrante em comum é o III.

Resposta

Quadrante III.

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