Questão 7: Determine a matriz na forma escada linha equivalente à matriz
A=\left(\begin{array}{llll} 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)

Passo 1

Temos a matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}
e queremos reduzi-la à forma escada linha usando operações elementares de linha (trocas, combinações lineares e escalonamento).

Passo 2

Como o elemento a_{11}=0, trocamos a linha 1 com a linha 2 para obter um pivô não nulo na primeira coluna:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}

Passo 3

Eliminamos o elemento abaixo do pivô em (3,1) fazendo L_3 \leftarrow L_3 - L_1:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

Passo 4

Eliminamos o elemento abaixo do pivô em (3,2) fazendo L_3 \leftarrow L_3 - L_2:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}

Passo 5

Para ter um pivô igual a 1 na terceira linha, multiplicamos L_3 por -1:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}

Resposta

A forma escada linha equivalente de A é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

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