Seja dada por com produto interno canônico. Se e , verifique que . Exiba uma base de autovetores de e à partir desta escreva uma base ortonormal.
Passo 1
O enunciado define o operador linear
no espaço com o produto interno canônico .
Preciso (i) verificar que para e , e (ii) exibir uma base de autovetores de e a partir dela construir uma base ortonormal.
Passo 2
Calculo e :
Então
logo . De fato, a matriz de é
que é simétrica, garantindo lang<= T x,yrang<==lang<= x,T yrang<= para todos x,y.
Passo 3
Para achar os autovalores, calculo o polinômio característico det(A-lambda I)=0. Tem-se
Testando lambda=3 vê-se que é raiz dupla, e a terceira raiz é lambda=-9. Assim os autovalores são
lambda1 = 3;( mu<iplicidade 2), lambda2 = -9
Passo 4
Para lambda=3, resolvo (A-3I)x=0, o que dá o sistema
-x+2y+z=0
Duas variáveis livres y,z. Tomo y=1,z=0Rightarrow x=2 e y=0,z=1Rightarrow x=1, gerando os autovetores
v2 = (2,1,0), v3 = (1,0,1)
Para lambda=-9, resolvo (A+9I)x=0, chegando a y=-2x, z=-x. Tomo x=1, o que dá o autovetor
v1 = (1,-2,-1)
Logo uma base de autovetores de T é
,v1=(1,-2,-1),;v2=(2,1,0),;v3=(1,0,1)
Passo 5
Como T é simétrica, autovetores de autovalores distintos já são ortogonais: verifica-se v1cdot v2=0 e v1cdot v3=0. No subespaço de lambda=3 aplico Gram–Schmidt a v2,v3:
u2 = v2 = (2,1,0), |u2|=raiz5, então e2 = 1raiz5(2,1,0).
Projeção de v3 em u2: proju2v3=v3cdot u2u2cdot u2u2 =25(2,1,0)=(tfrac45,tfrac25,0).
Então u3=v3-proju2v3=(1,0,1)-(tfrac45,tfrac25,0)=(tfrac15,-tfrac25,1), |u3|=raiz30/5, e e3 = u3|u3| = 1raiz30(1,-2,5)
Finalmente normalizo v1: |v1|=raiz6, então
e1 = 1raiz6(1,-2,-1)
Resposta
Base de autovetores de T:
(1,-2,-1),;(2,1,0),;(1,0,1)
Base ortonormal de autovetores:
l, 1raiz6(1,-2,-1),; 1raiz5(2,1,0),; 1raiz30(1,-2,5) r