As quádricas a seguir, são quádricas deslocadas da origem. Complete o quadrado e determine qual é a quádrica e o centro.
4 x^{2}+y^{2}+3 z^{2}-8 x+2 y+6 z=-7

Passo 1

O enunciado nos dá a quádrica
4x^{2}+y^{2}+3z^{2}-8x+2y+6z=-7
e pede para completar o quadrado, identificar o tipo de quádrica e seu centro. Vamos usar o método de completar o quadrado em x, y e z.

Passo 2

Agrupamos os termos de cada variável e fatoramos constantes:
4x^{2}-8x \;+\; y^{2}+2y \;+\; 3z^{2}+6z \;=\;-7.
Isto é equivalente a
4\bigl(x^{2}-2x\bigr)\;+\;\bigl(y^{2}+2y\bigr)\;+\;3\bigl(z^{2}+2z\bigr)\;=\;-7.

Passo 3

Agora completamos o quadrado dentro de cada parêntese:
x^{2}-2x = (x-1)^{2}-1, \quad y^{2}+2y = (y+1)^{2}-1, \quad z^{2}+2z = (z+1)^{2}-1.
Substituindo essas identidades:
4\bigl((x-1)^{2}-1\bigr) \;+\;\bigl((y+1)^{2}-1\bigr) \;+\;3\bigl((z+1)^{2}-1\bigr) =-7.
Distribuindo e somando as constantes -4-1-3=-8, obtemos
4(x-1)^{2} + (y+1)^{2} + 3(z+1)^{2} - 8 = -7 \quad\Longrightarrow\quad 4(x-1)^{2} + (y+1)^{2} + 3(z+1)^{2} = 1.

Passo 4

Escrevendo na forma canônica dividindo por 1:
\frac{(x-1)^{2}}{\tfrac14} \;+\; \frac{(y+1)^{2}}{1} \;+\; \frac{(z+1)^{2}}{\tfrac13} =1.
Como todos os coeficientes são positivos, essa equação representa um elipsoide. O centro fica no ponto que anula cada quadrado, ou seja,
(x,y,z) = (1,\,-1,\,-1).

Resposta

A quádrica é um elipsoide com centro em (1,\,-1,\,-1).

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