Quantos números de 3 dígitos ABC podem também ser escritos como (\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C})^{\mathrm{C}} ?

Passo 1

O enunciado pede todos os números de três dígitos ABC (isto é, N=100A+10B+C, com A\neq0 e A,B,C\in\{0,1,\dots,9\}) tais que
N = (A+B+C)^{C}.
Definimos s = A+B+C. A equação torna-se
100A+10B+C \;=\; s^{C},
com as restrições
1\le A\le9,\quad 0\le B,C\le9,\quad100\le s^{C}\le999,\quad1\le s\le27.

Passo 2

Para cada valor de C=1,2,\dots,9, determinamos os inteiros s tais que
100\le s^{C}\le999.
  • C=1: s\ge100, impossível pois s\le27.
  • C=2: 10\le s\le31, mas s\le27, logo 10\le s\le27.
  • C=3: 5\le s\le9.
  • C=4: 4\le s\le5.
  • C=5: 3\le s\le3.
  • C=6: 3\le s\le3.
  • C=7: 2\le s\le2.
  • C=8: 2\le s\le2.
  • C=9: 2\le s\le2.

Passo 3

Em seguida, cada par (C,s) gera
N = s^{C},
que deve satisfazer a duas condições de dígito:
  1. O algarismo das unidades de N deve ser C.
  2. A soma dos dígitos de N deve dar s.
Verificação rápida:
  • C =2, s=10,\dots,27: mas s^2\bmod10 nunca vale 2, logo nenhum match.
  • C =3, s=5,6,7,8,9: só 7^3=343 tem unidade 3, mas 3+4+3=10\neq7.
  • C =4, s=4,5: 4^4=256 (unidade 6), 5^4=625 (unidade 5), descarta.
  • C =5, s=3: 3^5=243 (unidade 3\neq 5).
  • C =6, s=3: 3^6=729 (unidade 9\neq 6).
  • C =7,8,9, s=2:
  • 2^7=128 (unidade 8\neq 7),
  • 2^8=256 (unidade 6\neq 8),
  • 2^9=512 (unidade 2\neq 9).
Em nenhum caso simultaneamente o dígito das unidades ficou igual a C e a soma dos dígitos igual a s.

Resposta

Não existe nenhum número de três dígitos que satisfaça a condição. Portanto, a resposta é 0.

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