Para quaisquer inteiros
e
, prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, em
, a negação de uma soma é a soma das negações, ou seja, para quaisquer inteiros
e
,
O que vamos usar é a definição de inverso aditivo e a unicidade desse inverso num grupo abeliano (a adição de inteiros).
Passo 2
Em
(que é um grupo abeliano sob adição) o inverso aditivo de um elemento
é o único elemento, denotado por
, que satisfaz
Da mesma forma,
. A unicidade do inverso aditivo diz que, se um elemento
satisfaz
, então
.
Passo 3
Mostramos que
é inverso aditivo de
. De fato, usando associatividade e comutatividade da adição,
Como a soma é comutativa, também valeria
mas isso não muda o argumento.
Passo 4
Pelo passo anterior,
é um elemento que somado a
dá zero. Pela unicidade do inverso aditivo de
, concluímos que