Para quaisquer inteiros a, b e c, prove que:
-(a+b)=(-a)+(-b)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, em \mathbb{Z}, a negação de uma soma é a soma das negações, ou seja, para quaisquer inteiros a e b,
-(a+b)\;=\;(-a)+(-b).
O que vamos usar é a definição de inverso aditivo e a unicidade desse inverso num grupo abeliano (a adição de inteiros).

Passo 2

Em \mathbb{Z} (que é um grupo abeliano sob adição) o inverso aditivo de um elemento x é o único elemento, denotado por -x, que satisfaz
x + (-x) \;=\; 0.
Da mesma forma, (-x) + x = 0. A unicidade do inverso aditivo diz que, se um elemento y satisfaz x + y = 0, então y = -x.

Passo 3

Mostramos que (-a)+(-b) é inverso aditivo de a+b. De fato, usando associatividade e comutatividade da adição,
(a+b)\;+\;\bigl((-a)+(-b)\bigr) \;=\; \bigl(a + (-a)\bigr)\;+\;\bigl(b + (-b)\bigr) \;=\; 0 + 0 \;=\; 0.
Como a soma é comutativa, também valeria
\bigl((-a)+(-b)\bigr) + (a+b)=0,
mas isso não muda o argumento.

Passo 4

Pelo passo anterior, (-a)+(-b) é um elemento que somado a a+b dá zero. Pela unicidade do inverso aditivo de a+b, concluímos que
(-a)+(-b) \;=\; -(a+b).

Resposta

-(a+b)=(-a)+(-b).

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