Use os axiomas da relação de ordem ( < ) em \mathbb{Z}, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo a, b e c inteiros:
Se c>0 e a c<b c \Longrightarrow a<b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathbb{Z}, se c>0 e
a\,c < b\,c,
então a < b.
Vamos usar os seguintes fatos sobre a ordem em \mathbb{Z}:
  1. (Aditividade) Se x<y então, para todo z, x+z<y+z.
  2. (Distributividade) x\,c - y\,c = (x-y)\,c.
  3. (Monotonicidade da multiplicação) Se z>0, então x<y se, e somente se, x\,z < y\,z.

Passo 2

Aplicamos o fato de aditividade com z=-b\,c à desigualdade a\,c < b\,c. Assim,
a\,c < b\,c \quad\Longrightarrow\quad a\,c +(-b\,c) < b\,c +(-b\,c) \quad\Longrightarrow\quad a\,c - b\,c < 0.

Passo 3

Pelo axioma da distributividade, factoramos a diferença:
a\,c - b\,c = (a - b)\,c.
Logo a desigualdade do passo anterior fica
(a - b)\,c < 0.

Passo 4

Como c>0 e (a - b)\,c < 0, pela monotonicidade da multiplicação pelo positivo, podemos “cancelar” c da desigualdade e obter
a - b < 0.

Passo 5

A desigualdade a - b < 0 é equivalente a
a < b.

Resposta

Portanto, se c>0 e a\,c < b\,c, então a<b.

Exercícios relacionados