Use os axiomas da relação de ordem (
) em
, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo
e
inteiros:
Se
e
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, se
e
então
.
Vamos usar os seguintes fatos sobre a ordem em :
Vamos usar os seguintes fatos sobre a ordem em
- (Aditividade) Se
então, para todo , . - (Distributividade)
. - (Monotonicidade da multiplicação) Se
, então se, e somente se, .
Passo 2
Aplicamos o fato de aditividade com
à desigualdade
. Assim,
Passo 3
Pelo axioma da distributividade, factoramos a diferença:
Logo a desigualdade do passo anterior fica
Passo 4
Como
e
, pela monotonicidade da multiplicação pelo positivo, podemos “cancelar”
da desigualdade e obter
Passo 5
A desigualdade
é equivalente a
Resposta
Portanto, se
e
, então
.