Use os axiomas da relação de ordem ( < ) em \mathbb{Z}, bem como propriedades da adição e da multiplicação, para provar que, sendo a, b e c inteiros:
Se a<b, então -a>-b

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando apenas os axiomas de ordem em \mathbb{Z} e as propriedades de adição e multiplicação, que
\text{se }a<b\text{ então }-a>-b.ã
Vamos usar a definição de ordem em \mathbb{Z}: para quaisquer inteiros x,y,
x<y\quad\Longleftrightarrow\quad y - x > 0,
e o fato de que “ x>y” significa exatamente “ x-y>0”.

Passo 2

De a<b tiramos, pela definição de ordem, que
b - a > 0.

Passo 3

Calculemos a diferença entre -a e -b:
(-a) - (-b) \;=\; -a + b \;=\; b - a.
Como já vimos que b - a>0, concluímos que
(-a) - (-b) > 0.

Passo 4

Pela mesma definição de ordem, de “ (\\ -a)-(-b)>0” segue que
-\,a > -\,b.

Resposta

-a>-b

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