Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e qualquer que seja o número real lambda, valem as propriedades:
(d) Se u neq 0, então u cdot u>0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em R^n, o produto escalar é positivo-definido, isto é, se uneq0 então
ucdotu>0
Para isso vamos usar a definição coordenada a coordenada do produto escalar e algumas propriedades elementares de números reais.

Passo 2

Escrevamos u em coordenadas como
u=(u1,u2,dots,un)
Pela definição do produto escalar em R^n temos
ucdotu =sumi=1^nui,ui =sumi=1^nui^2
Cada termo ui^2 é um quadrado de número real, e sabemos que para todo i vale
ui^2>=0,
com igualdade se e somente se ui=0.

Passo 3

Como uneq0, existe pelo menos um índice k tal que ukneq0.
Nesse caso uk^2>0.
Como os outros termos ui^2 são não-negativos, a soma
sumi=1^nui^2
fica estritamente positiva. Logo
ucdotu=sumi=1^nui^2>0

Resposta

A propriedade é verdadeira porque ucdotu=sumi=1^n ui^2 e essa soma é estritamente positiva sempre que uneq0.

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