Quaisquer que sejam os vetores
e
e qualquer que seja o número real
, valem as propriedades:
(d)
, então
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, o produto escalar é positivo-definido, isto é, se
então
Para isso vamos usar a definição coordenada a coordenada do produto escalar e algumas propriedades elementares de números reais.
Passo 2
Escrevamos
em coordenadas como
Pela definição do produto escalar em
temos
Cada termo
é um quadrado de número real, e sabemos que para todo
vale
com igualdade se e somente se
.
Passo 3
Como
, existe pelo menos um índice
tal que
.
Nesse caso .
Como os outros termos são não-negativos, a soma
Nesse caso
Como os outros termos
fica estritamente positiva. Logo
Resposta
A propriedade é verdadeira porque
e essa soma é estritamente positiva sempre que
.