Qualquer elemento v=(a, b, c) in R^3 é combinação linear de i=(1,0,0), j= (0,1,0) e k=(0,0,1).
Verdadeiro ou falso? Demonstre

Passo 1

O enunciado diz que dado um vetor v=(a,b,c)inR^3, queremos verificar se ele pode ser escrito como combinação linear dos vetores
i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)
O conteúdo envolvido é a definição de combinação linear e o conceito de sistema gerador (span) em um espaço vetorial.

Passo 2

Lembrando que dizer que v é combinação linear de i,j,k significa que existem escalares x,y,zinR tais que
x,i + y,j + z,k = v
Como i,j,k têm componentes canônicas, podemos calcular o lado esquerdo explicitamente.

Passo 3

Calculando
x,i + y,j + z,k = x,(1,0,0) + y,(0,1,0) + z,(0,0,1) = (x,,y,,z)
Para que isso seja igual a v=(a,b,c), basta escolher
x=a, y=b, z=c
Logo
v = a,i + b,j + c,k

Passo 4

Como a,b,c eram quaisquer em R, qualquer vetor (a,b,c) pode ser escrito nessa forma. Isso mostra que i,j,k gera R^3 e que a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeiro.

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