Nas questões 20-24, suponha que u e v são ortogonais e que suas coordenadas são dadas em relação a um sistema de coordenadas ortogonal.
Se u=(k+1,3,2 k-4) e v=(5,-2, k), qual é o menor possível valor de 2 k?

Passo 1

O enunciado nos dá os vetores
u=(k+1,3,2k-4) e v=(5,-2,k)
em um sistema de coordenadas ortogonal, e pede o menor possível valor de 2k sob a condição de que u e v sejam ortogonais. Para isso, vamos usar a propriedade de que o produto escalar de vetores ortogonais é zero.

Passo 2

Compute o produto escalar
ucdotv=(k+1)cdot5 + 3cdot(-2) + (2k-4)cdot k
e iguale a zero:
5(k+1) -6 + k(2k-4)=0
Desenvolvendo e somando termos semelhantes temos
5k+5 -6 +2k^2 -4k =0 Longrightarrow 2k^2 + k -1 = 0

Passo 3

Resolva a equação quadrática
2k^2 + k -1 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
k = -1 pm raiz1 + 82cdot2 = -1 pm 34
Logo as raízes são
k = -1 + 34 = tfrac12 ou k = -1 - 34 = -1

Passo 4

Calcule 2k para cada solução:
  • Se k=tfrac12, então 2k = 1.
  • Se k=-1, então 2k = -2.
    O menor valor possível de 2k é -2.

Resposta

-2

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