Qualquer ponto no intervalo [0,1) pode ser representado através de sua expansão decimal 0, x1, x2, ldots Suponha que se escolhe, aleatoriamente, um ponto do intervalo [0,1). Seja X o primeiro dígito da expansão decimal que representa o ponto. Determine a densidade de X.

Passo 1

O enunciado pede para a gente escolher um ponto de forma uniforme em [0,1) e olhar o primeiro dígito da sua expansão decimal. O conteúdo aqui é variável discreta e cálculo de probabilidade via medida de intervalos.

Passo 2

A variável X só pode assumir valores em {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Para cada valor k, queremos P(X=k), que é justamente a probabilidade do número sorteado pertencer ao intervalo onde o primeiro dígito vale k.

Passo 3

Como a seleção é uniforme em [0,1), P(X=k) é o comprimento do intervalo em que a expansão decimal começa com k. Esse intervalo é [k/10,(k+1)/10).

Passo 4

O comprimento de [k/10,(k+1)/10) é (k+1)/10−k/10=1/10. Logo, para todo k∈{0,…,9} temos P(X=k)=1/10.

Resposta

A densidade (função massa de probabilidade) de X é
fX(k)= P(X=k)=110, k=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

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