Suponha que uma caixa contenha 6 bolas vermelhas e 4 pretas. Seleciona-se uma amostra aleatória de tamanho
. Seja
o número de bolas vermelhas na amostra. Determine a densidade de
para amostragem (a) sem reposição e (b) com reposição.
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: Temos uma urna com 6 bolas vermelhas e 4 pretas e extraímos uma amostra aleatória de tamanho
. Definimos a variável
como o número de bolas vermelhas na amostra. O conteúdo chave aqui são distribuições discretas: sem reposição Hypergeométrica e com reposição Binomial.
Passo 2
Distribuição de
sem reposição: Para calcular
quando não recolocamos a bola na urna, usamos a distribuição hipergeométrica. A ideia é contar de quantas maneiras escolhemos exatamente
vermelhas entre as 6 disponíveis e
pretas entre as 4 disponíveis, dividindo pelo número total de formas de escolher
bolas dentre as 10. Assim
Passo 3
Distribuição de
com reposição: Aqui cada extração é independente e a probabilidade de vermelho em cada tentativa é
. Logo
segue uma distribuição Binomial
. Temos
Resposta
Sem reposição:
$$P(X=k)=\frac{\binom{6}{k},\binom{4}{n-k}}{\binom{10}{n}},\quad\max(0,n-4)\le k\le\min(n,6).
$$
Com reposição:
$$P(X=k)=\binom{n}{k}(0.6)k(0.4){n-k},\quad k=0,1,\dots,n.
$$