Suponha que uma caixa contenha 6 bolas vermelhas e 4 pretas. Seleciona-se uma amostra aleatória de tamanho n. Seja X o número de bolas vermelhas na amostra. Determine a densidade de X para amostragem (a) sem reposição e (b) com reposição.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: Temos uma urna com 6 bolas vermelhas e 4 pretas e extraímos uma amostra aleatória de tamanho n. Definimos a variável X como o número de bolas vermelhas na amostra. O conteúdo chave aqui são distribuições discretas: sem reposição Hypergeométrica e com reposição Binomial.

Passo 2

Distribuição de X sem reposição: Para calcular P(X=k) quando não recolocamos a bola na urna, usamos a distribuição hipergeométrica. A ideia é contar de quantas maneiras escolhemos exatamente k vermelhas entre as 6 disponíveis e n-k pretas entre as 4 disponíveis, dividindo pelo número total de formas de escolher n bolas dentre as 10. Assim
P(X=k)=binom6k,binom4n-kbinom10n,max(0,n-4)<= k<=min(n,6)

Passo 3

Distribuição de X com reposição: Aqui cada extração é independente e a probabilidade de vermelho em cada tentativa é p=6/10=0.6. Logo X segue uma distribuição Binomial Bin(n,0.6). Temos
P(X=k)=binomnk(0.6)^k(0.4)^n-k, k=0,1,2,dots,n

Resposta

Sem reposição:
$$P(X=k)=\frac{\binom{6}{k},\binom{4}{n-k}}{\binom{10}{n}},\quad\max(0,n-4)\le k\le\min(n,6).
$$
Com reposição:
$$P(X=k)=\binom{n}{k}(0.6)k(0.4){n-k},\quad k=0,1,\dots,n.
$$

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