(Valor 4.0) Sejam
e
matrizes do tipo
. Classifique como verdadeiro ou falso:
a)
.
b)
.
c) Se
e
são inversíveis, então
.
d)
.
a)
b)
c) Se
d)
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique como verdadeiro (V) ou falso (F) quatro afirmações sobre matrizes quadradas
. O conteúdo envolve propriedades de determinante (se é aditivo, multiplicativo, comportamento sob transposição e inversão) e propriedade de inversão de produto de matrizes.
Passo 2
A afirmação (a) é
.
Em geral, o determinante não é aditivo: ele satisfaz
mas não há fórmula simples para .
Contraexemplo :
Em geral, o determinante não é aditivo: ele satisfaz
mas não há fórmula simples para
Contraexemplo
Então
,
e
tem .
Logo (a) é falsa.
tem
Logo (a) é falsa.
Passo 3
A afirmação (b) é
,
onde é a matriz transposta de
.
Propriedade bem conhecida do determinante diz que transpor a matriz não altera seu determinante.
Portanto (b) é verdadeira.
onde
Propriedade bem conhecida do determinante diz que transpor a matriz não altera seu determinante.
Portanto (b) é verdadeira.
Passo 4
A afirmação (c) é
“Se e
são inversíveis, então
.”
Essa é a regra padrão de inversão de produto de matrizes.
De fato,
“Se
Essa é a regra padrão de inversão de produto de matrizes.
De fato,
e análogo do outro lado.
Logo (c) é verdadeira.
Logo (c) é verdadeira.
Passo 5
A afirmação (d) é
.
Também é propriedade clássica do determinante:
Também é propriedade clássica do determinante:
Desde que
seja inversível (ou seja,
).
Portanto (d) é verdadeira.
Portanto (d) é verdadeira.
Resposta
a) F
b) V
c) V
d) V
b) V
c) V
d) V