(Valor 4.0) Sejam \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} matrizes do tipo n \times n. Classifique como verdadeiro ou falso:
a) \operatorname{det}(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=\operatorname{det} \boldsymbol{A}+\operatorname{det} \boldsymbol{B}.
b) \operatorname{det}\left(\boldsymbol{A}^{\prime}\right)=\operatorname{det}(\boldsymbol{A}).
c) Se \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} são inversíveis, então (\boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1} \cdot \boldsymbol{A}^{-1}.
d) \operatorname{det} \boldsymbol{A}^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} \boldsymbol{A}}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique como verdadeiro (V) ou falso (F) quatro afirmações sobre matrizes quadradas n\times n. O conteúdo envolve propriedades de determinante (se é aditivo, multiplicativo, comportamento sob transposição e inversão) e propriedade de inversão de produto de matrizes.

Passo 2

A afirmação (a) é
\det(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}) = \det(\boldsymbol{A}) + \det(\boldsymbol{B}).
Em geral, o determinante não é aditivo: ele satisfaz
\det(\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}) = \det(\boldsymbol{A})\,\det(\boldsymbol{B})
mas não há fórmula simples para \det(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}).
Contraexemplo 2\times 2:
\boldsymbol{A} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{B} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Então \det(\boldsymbol{A})=1, \det(\boldsymbol{B})=1 e
\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}=\begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix}
tem \det(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})=4\neq 1+1=2.
Logo (a) é falsa.

Passo 3

A afirmação (b) é
\det(\boldsymbol{A}') = \det(\boldsymbol{A}),
onde \boldsymbol{A}' é a matriz transposta de \boldsymbol{A}.
Propriedade bem conhecida do determinante diz que transpor a matriz não altera seu determinante.
Portanto (b) é verdadeira.

Passo 4

A afirmação (c) é
“Se \boldsymbol{A} e \boldsymbol{B} são inversíveis, então
(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B})^{-1} = \boldsymbol{B}^{-1}\,\boldsymbol{A}^{-1}.”
Essa é a regra padrão de inversão de produto de matrizes.
De fato,
(\boldsymbol{A}\,\boldsymbol{B})(\boldsymbol{B}^{-1}\,\boldsymbol{A}^{-1}) = \boldsymbol{A}\,(\boldsymbol{B}\,\boldsymbol{B}^{-1})\,\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}\,\boldsymbol{I}\,\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{I},
e análogo do outro lado.
Logo (c) é verdadeira.

Passo 5

A afirmação (d) é
\det(\boldsymbol{A}^{-1}) = \tfrac{1}{\det(\boldsymbol{A})}.
Também é propriedade clássica do determinante:
\det(\boldsymbol{A}^{-1}) = \det(\boldsymbol{A})^{-1} = \frac{1}{\det(\boldsymbol{A})}.
Desde que \boldsymbol{A} seja inversível (ou seja, \det(\boldsymbol{A})\neq 0).
Portanto (d) é verdadeira.

Resposta

a) F
b) V
c) V
d) V

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