Quantas etapas são necessárias para calcular o zero de f(x)=x^{3}-3 no intervalo de [0; 3], usando o método da Bissecção e erro inferior a 10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede para achar o zero de f(x)=x^3-3 no intervalo [0,3] usando o método da bissecção, de modo que o erro na aproximação seja menor que 10^{-4}. O conteúdo necessário é o critério de parada do método da bissecção, que utiliza o comprimento do intervalo de incerteza.

Passo 2

Como f é contínua, f(0)= -3<0 e f(3)=24>0, existe ao menos uma raiz em [0,3]. No método da bissecção, após n iterações o comprimento do intervalo onde a raiz se encontra é
\frac{b-a}{2^n},
e a aproximação tem erro máximo de metade desse intervalo. Para garantir erro menor que \varepsilon, basta impor
\frac{b-a}{2^n}\le \varepsilon.

Passo 3

Substituindo a=0, b=3 e \varepsilon=10^{-4}, obtemos
\frac{3}{2^n}\le 10^{-4} \quad\Longrightarrow\quad 2^n\ge \frac{3}{10^{-4}}=30000 \quad\Longrightarrow\quad n\ge \log_{2}(30000).

Passo 4

Calculando o logaritmo:
\log_{2}(30000) =\frac{\log_{10}(30000)}{\log_{10}(2)} =\frac{\log_{10}(3)+4}{\log_{10}(2)} \approx\frac{0,4771+4}{0,3010}\approx14{,}87.
Como n deve ser inteiro e para garantir o erro exigido escolhemos o menor inteiro maior ou igual a 14{,}87, isto é, n=15.

Resposta

São necessárias 15 etapas.

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