Seja
. Prove que a função f tem um único zero em [0;5]. Usando o Método de Newton e usando como valor inicial
teremos
. É claro que
não converge para
. Como você explicaria o fato que neste caso o método não gera uma seqüência convergente?
Passo 1
O enunciado define
e pede duas coisas: (i) mostrar que existe exatamente uma raiz de
no intervalo
; (ii) notar que o Método de Newton, com
, produz a sequência
que claramente não converge para a raiz. Vamos primeiro garantir existência e unicidade da raiz e, em seguida, explicar por que o Newton falha.
Passo 2
Para existência, observe que
é contínua em
,
Por Bolzano há pelo menos uma raiz em
.
Para unicidade, calcule
cujo discriminante é
, gerando raízes
Logo:
– em temos
, ou seja,
é decrescente ali;
– em temos
, ou seja,
é crescente ali.
Como
– em
– em
Como
a função só muda de sinal uma vez, num ponto único em
.
Passo 3
Definindo o iterador de Newton
vemos
Em seguida
Por indução
, logo a sequência oscila entre
e
e não converge.
Passo 4
O motivo teórico é que, para garantir convergência local do Método de Newton, costuma-se pedir que em torno da raiz:
-
não se anule; -
não mude de sinal (função estritamente convexa ou côncava); - o iterador
seja um mapeamento contrátil.
Aqui ocorre que
logo
: o ponto
é um ponto de inflexão e quebra a hipótese de convexidade/concavidade. Assim
foge de um valor absoluto menor que 1 na vizinhança de
, e o Newton “puxa” o iterado para
e depois de volta para
, nunca se aproximando da raiz verdadeira.
Resposta
O Método de Newton falha porque o ponto inicial
está exatamente no inflexão de
(onde
), violando as hipóteses de convexidade e contratilidade necessárias para a convergência local.