Seja f(x)=x^{3}-3 x^{2}-5 x-9. Prove que a função f tem um único zero em [0;5]. Usando o Método de Newton e usando como valor inicial x_{0}=1 teremos x_{0}=1 ; x_{1}=-1 ; x_{2}=1 ; x_{3}=-1 ; \cdots ; x_{n}=(-1)^{n}. É claro que x_{n} não converge para x. Como você explicaria o fato que neste caso o método não gera uma seqüência convergente?

Passo 1

O enunciado define
f(x)=x^{3}-3x^{2}-5x-9
e pede duas coisas: (i) mostrar que existe exatamente uma raiz de f no intervalo [0,5]; (ii) notar que o Método de Newton, com x_{0}=1, produz a sequência
x_{0}=1,\quad x_{1}=-1,\quad x_{2}=1,\quad x_{3}=-1,\dots
que claramente não converge para a raiz. Vamos primeiro garantir existência e unicidade da raiz e, em seguida, explicar por que o Newton falha.

Passo 2

Para existência, observe que f é contínua em [0,5],
f(0)=-9<0, \qquad f(5)=5^{3}-3\cdot5^{2}-5\cdot5-9=125-75-25-9=16>0.
Por Bolzano há pelo menos uma raiz em [0,5].
Para unicidade, calcule
f'(x)=3x^{2}-6x-5,
cujo discriminante é \Delta=36+60=96, gerando raízes
x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{96}}{6}=1\pm\frac{2\sqrt6}{3} \approx -0,633\;\text{e}\;2,633.
Logo:
– em (0,\,2,633) temos f'(x)<0, ou seja, f é decrescente ali;
– em (2,633,\,5) temos f'(x)>0, ou seja, f é crescente ali.
Como
f(2,633)\approx -24{,}7<0 \quad\text{e}\quad f(5)>0,
a função só muda de sinal uma vez, num ponto único em (2,633,5)\subset[0,5].

Passo 3

Definindo o iterador de Newton
N(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)},
vemos
f(1)=1-3-5-9=-16, \quad f'(1)=3-6-5=-8 \;\Longrightarrow\; x_{1}=N(1)=1-\frac{-16}{-8}=-1.
Em seguida
f(-1)=-1-3+5-9=-8, \quad f'(-1)=3+6-5=4 \;\Longrightarrow\; x_{2}=N(-1)=-1-\frac{-8}{4}=1.
Por indução x_{n}=(-1)^{n}, logo a sequência oscila entre 1 e -1 e não converge.

Passo 4

O motivo teórico é que, para garantir convergência local do Método de Newton, costuma-se pedir que em torno da raiz:
  1. f' não se anule;
  2. f'' não mude de sinal (função estritamente convexa ou côncava);
  3. o iterador N(x) seja um mapeamento contrátil.
Aqui ocorre que
f''(x)=6x-6,
logo f''(1)=0: o ponto x=1 é um ponto de inflexão e quebra a hipótese de convexidade/concavidade. Assim N'(x) foge de um valor absoluto menor que 1 na vizinhança de x=1, e o Newton “puxa” o iterado para -1 e depois de volta para 1, nunca se aproximando da raiz verdadeira.

Resposta

O Método de Newton falha porque o ponto inicial x_{0}=1 está exatamente no inflexão de f (onde f''(1)=0), violando as hipóteses de convexidade e contratilidade necessárias para a convergência local.

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