Na série infinita dada, determine a fórmula para S_{n} em termos de n. Determine se é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+7 n+12}

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+7n+12}
e pede (1) uma fórmula para a soma parcial S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^{2}+7k+12}, (2) verificar se a série é convergente ou divergente e, em caso de convergência, (3) encontrar a soma.

Passo 2

Para simplificar o termo geral, fatoramos o denominador:
n^{2}+7n+12 = (n+3)(n+4).
Em seguida, escrevemos em frações parciais:
\frac{1}{(n+3)(n+4)} = \frac{A}{n+3} + \frac{B}{n+4}.
Resolvendo 1 = A(n+4) + B(n+3) para todo n, vemos que A=1 e B=-1. Logo,
\frac{1}{(n+3)(n+4)} = \frac{1}{n+3} - \frac{1}{n+4}.

Passo 3

Substituindo na soma parcial, obtemos
S_{n} = \sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{k+3} - \frac{1}{k+4}\Bigr).
Essa é uma série telescópica, pois ao expandir termos iniciais e finais:
\bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{5}\bigr) +\bigl(\tfrac{1}{5}-\tfrac{1}{6}\bigr) +\cdots +\bigl(\tfrac{1}{n+3}-\tfrac{1}{n+4}\bigr),
quase tudo se cancela, restando apenas
S_{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{n+4}.

Passo 4

Para verificar convergência, analisamos o limite de S_{n} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_{n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{1}{4} - \frac{1}{n+4}\Bigr) = \frac{1}{4}.
Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é \tfrac{1}{4}.

Resposta

A fórmula da soma parcial é
S_{n} = \frac{1}{4} - \frac{1}{n+4}.
A série é convergente e
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+7n+12} = \frac{1}{4}.

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