Na série infinita dada, determine a fórmula para
em termos de
. Determine se é convergente ou divergente, se for convergente, encontre a soma.
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita
e pede (1) uma fórmula para a soma parcial
, (2) verificar se a série é convergente ou divergente e, em caso de convergência, (3) encontrar a soma.
Passo 2
Para simplificar o termo geral, fatoramos o denominador:
Em seguida, escrevemos em frações parciais:
Resolvendo
para todo
, vemos que
e
. Logo,
Passo 3
Substituindo na soma parcial, obtemos
Essa é uma série telescópica, pois ao expandir termos iniciais e finais:
quase tudo se cancela, restando apenas
Passo 4
Para verificar convergência, analisamos o limite de
quando
:
Como o limite existe e é finito, a série converge e sua soma é
.
Resposta
A fórmula da soma parcial é
A série é convergente e