Quantos são os anagramas da palavra CATAVENTO?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantos anagramas distintos existem para a palavra
.
Vou listar as informações que a palavra nos dá (peguei estas informações diretamente da palavra):
Vou listar as informações que a palavra nos dá (peguei estas informações diretamente da palavra):
- A palavra tem comprimento total
(há nove letras: ). - Contagem de cada letra:
-
As perguntas implícitas são: quantas sequências distintas de
letras podem ser formadas usando exatamente essas letras, respeitando as repetições?
Passo 2
Conceito necessário (explicação didática): quando todas as letras fossem distintas, o número de anagramas seria simplesmente o número de permutações de
objetos distintos, isto é
.
O fatorial é definido como o produto dos inteiros positivos até
:
O fatorial
Por exemplo,
.
Quando há letras repetidas, arranjos que diferem apenas por permutar letras idênticas não contam como distintos. Para corrigir isso, usamos a fórmula para permutações de um multiconjunto: se o total de símbolos é
e as multiplicidades (contagens) são
(com
), o número de permutações distintas é
Aqui cada
divide porque, para cada grupo de
símbolos idênticos, suas permutações internas não produzem novas sequências.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
-
. - As multiplicidades não-triviais são
e . Todas as outras letras têm multiplicidade , e não altera o quociente.
Portanto o número de anagramas é
Passo 4
Agora vou calcular isso passo a passo, de modo que dê para fazer sem calculadora:
Primeiro escrevo :
Primeiro escrevo
O denominador é
Logo
Para dividir sem erro, podemos cancelar fatores antes de multiplicar tudo: por exemplo dividir
por
e
por
(essas divisões correspondem a dividir por
). Fazendo essas simplificações na lista de fatores:
ou seja, após as divisões pelos dois
's, os fatores restantes multiplicam-se para dar o total final. Se preferir calcular diretamente,
Passo 5
Para fixar a ideia com um exemplo pequeno (didática concreta): a palavra
tem
letras com multiplicidades
,
. Pela fórmula:
e, de fato, os três anagramas distintos são
. Isso mostra por que dividimos pelo fatorial das repetições: permutar as duas
's não gera uma nova palavra.
Passo 6
Conclusão: aplicando a fórmula e fazendo as contas, o número de anagramas distintos da palavra
é
, que vale
. Vá com calma na prova: enumere letras e multiplicidades, aplique a fórmula e simplifique como mostrei — é um procedimento rápido e confiável.