Quantos são os anagramas da palavra CATAVENTO?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantos anagramas distintos existem para a palavra \text{CATAVENTO}.
Vou listar as informações que a palavra nos dá (peguei estas informações diretamente da palavra):
  • A palavra tem comprimento total n = 9 (há nove letras: C A T A V E N T O).
  • Contagem de cada letra:
    • C:1
    • A:2
    • T:2
    • V:1
    • E:1
    • N:1
    • O:1
As perguntas implícitas são: quantas sequências distintas de 9 letras podem ser formadas usando exatamente essas letras, respeitando as repetições?

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática): quando todas as letras fossem distintas, o número de anagramas seria simplesmente o número de permutações de n objetos distintos, isto é n!.
O fatorial n! é definido como o produto dos inteiros positivos até n:
n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1.
Por exemplo, 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24.
Quando há letras repetidas, arranjos que diferem apenas por permutar letras idênticas não contam como distintos. Para corrigir isso, usamos a fórmula para permutações de um multiconjunto: se o total de símbolos é n e as multiplicidades (contagens) são n_1,n_2,\dots,n_k (com \sum_{i=1}^k n_i = n), o número de permutações distintas é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots n_k!}.
Aqui cada n_i! divide porque, para cada grupo de n_i símbolos idênticos, suas permutações internas não produzem novas sequências.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso:
  • n = 9.
  • As multiplicidades não-triviais são n_A = 2 e n_T = 2. Todas as outras letras têm multiplicidade 1, e 1! = 1 não altera o quociente.
Portanto o número de anagramas é
\frac{9!}{2!\,2!}.

Passo 4

Agora vou calcular isso passo a passo, de modo que dê para fazer sem calculadora:
Primeiro escrevo 9!:
9! = 9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 362880.
O denominador é
2!\,2! = 2\cdot2 = 4.
Logo
\frac{9!}{2!\,2!} = \frac{362880}{4}.
Para dividir sem erro, podemos cancelar fatores antes de multiplicar tudo: por exemplo dividir 8 por 2 e 4 por 2 (essas divisões correspondem a dividir por 2\cdot2). Fazendo essas simplificações na lista de fatores:
9\cdot\cancel{8}^{\,4}\cdot7\cdot6\cdot5\cdot\cancel{4}^{\,2}\cdot3\cdot2\cdot1,
ou seja, após as divisões pelos dois 2's, os fatores restantes multiplicam-se para dar o total final. Se preferir calcular diretamente,
\frac{362880}{4} = 90720.

Passo 5

Para fixar a ideia com um exemplo pequeno (didática concreta): a palavra \text{ABA} tem n=3 letras com multiplicidades A:2, B:1. Pela fórmula:
\frac{3!}{2!} = \frac{6}{2} = 3,
e, de fato, os três anagramas distintos são \text{AAB},\\ \text{ABA},\\ \text{BAA}. Isso mostra por que dividimos pelo fatorial das repetições: permutar as duas A's não gera uma nova palavra.

Passo 6

Conclusão: aplicando a fórmula e fazendo as contas, o número de anagramas distintos da palavra \text{CATAVENTO} é \dfrac{9!}{2!2!}, que vale 90720. Vá com calma na prova: enumere letras e multiplicidades, aplique a fórmula e simplifique como mostrei — é um procedimento rápido e confiável.

Resposta

90720

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