De quantas maneiras podemos dispor 5 casais e uma roda de modo que:
cada mulher esteja ao lado do seu marido?
cada mulher esteja ao lado do seu marido?
Passo 1
Resumo da questão: a gente quer sentar 5 casais numa roda (mesa redonda) de modo que cada mulher fique ao lado do seu marido.
Conteúdo da matéria: permutação circular, princípio multiplicativo e técnica de blocos (agrupar objetos que ficam juntos).
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: permutação circular, princípio multiplicativo e técnica de blocos (agrupar objetos que ficam juntos).
O que vamos precisar:
- Fórmula de permutação circular de
objetos: . - Princípio multiplicativo (quando temos etapas independentes, multiplicamos as contagens).
- Ideia de tratar cada casal como um “bloco” porque eles devem ficar juntos.
Passo 2
Tratar cada casal como um único bloco.
– Como temos 5 casais, viram 5 blocos.
– Para dispor esses 5 blocos numa roda, usamos permutação circular:
– Como temos 5 casais, viram 5 blocos.
– Para dispor esses 5 blocos numa roda, usamos permutação circular:
Aqui não importa o lugar exato, já que rotações são equivalentes.
Passo 3
Dentro de cada bloco (casal), marido e mulher podem trocar de lado.
– Cada casal tem 2 jeitos de sentar (esposa à direita ou à esquerda do marido).
– Como são 5 casais, total de arranjos internos:
– Cada casal tem 2 jeitos de sentar (esposa à direita ou à esquerda do marido).
– Como são 5 casais, total de arranjos internos:
Passo 4
Aplicar o princípio multiplicativo:
– Primeiro escolho a ordem dos blocos na roda: .
– Depois escolho como cada casal se vira dentro do bloco: .
Então o total é
– Primeiro escolho a ordem dos blocos na roda:
– Depois escolho como cada casal se vira dentro do bloco:
Então o total é
Calculemos:
Resposta
Há
maneiras de dispor os 5 casais na roda de forma que cada mulher fique ao lado do seu marido.