Quantas palavras de 6 letras podem ser formadas com as letras \{A, B, C, D, E\}, admitindo repetição, mas contendo pelo menos uma letra A ?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas “palavras” de 6 letras podem ser formadas usando o conjunto de letras \{A,B,C,D,E\}, permitindo repetição, mas exigindo que cada palavra contenha pelo menos uma letra A.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • Comprimento da palavra: 6 letras.
  • Alfabeto disponível: 5 letras, que são A,B,C,D,E.
  • Repetição de letras é permitida (ou seja, cada posição pode receber qualquer letra do alfabeto).
  • Restrição final: a palavra deve ter pelo menos uma ocorrência da letra A.

Passo 2

Escolha do método: usar o princípio do complemento. Explicando de forma simples e didática:
  • Às vezes é difícil contar diretamente quantas palavras têm "pelo menos uma A". Em vez disso, conta-se o total de palavras possíveis (sem restrição) e subtrai-se as palavras que violam a condição (ou seja, as que têm "nenhuma A").
  • Esse é o método do complemento: \text{(nº com pelo menos uma A)} = \text{(total)} - \text{(nº sem A)}ºº.
    Motivo prático: é muito fácil contar o total e também fácil contar as palavras sem A; a diferença dá o que queremos.

Passo 3

Contar o total de palavras de 6 letras sem nenhuma restrição (cada posição pode ser qualquer uma das 5 letras).
  • Princípio multiplicativo (regra do produto): se uma tarefa é composta por 6 escolhas independentes e a cada escolha há 5 opções, o número total de sequências possíveis é 5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5\cdot5, isto é, 5^6.
  • Para fixar a ideia com números: \;5^2=25,\;5^3=125,\;5^4=625,\;5^5=3125,\;5^6=15625.
  • Portanto, o total de palavras de 6 letras (sem restrição) é \;5^6=15625.

Passo 4

Contar quantas palavras de 6 letras NÃO contêm a letra A (ou seja, usam apenas as letras \{B,C,D,E\}).
  • Agora o alfabeto efetivo tem 4 letras, e cada uma das 6 posições pode receber qualquer uma dessas 4 letras, com repetição.
  • Novamente pelo princípio multiplicativo, o número de tais palavras é 4^6.
  • Para ver os valores: \;4^2=16,\;4^3=64,\;4^4=256,\;4^5=1024,\;4^6=4096.
  • Portanto, o número de palavras sem nenhuma A é \;4^6=4096.

Passo 5

Aplicando o complemento: o número de palavras de 6 letras que contêm pelo menos uma A é
5^6 - 4^6.
Usando os valores calculados nos passos anteriores, temos 5^6=15625 e 4^6=4096, logo a expressão fica
15625 - 4096 = 5^6 - 4^6.
Dica rápida para prova: em problemas “pelo menos um” quase sempre o complemento é a saída mais curta — conta-se o total e subtrai-se o caso “zero ocorrências”.

Resposta

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