Quantas palavras de 6 letras podem ser formadas com as letras
, admitindo repetição, mas contendo pelo menos uma letra
?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas “palavras” de 6 letras podem ser formadas usando o conjunto de letras
, permitindo repetição, mas exigindo que cada palavra contenha pelo menos uma letra
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- Comprimento da palavra:
letras. - Alfabeto disponível:
letras, que são . - Repetição de letras é permitida (ou seja, cada posição pode receber qualquer letra do alfabeto).
- Restrição final: a palavra deve ter pelo menos uma ocorrência da letra
.
Passo 2
Escolha do método: usar o princípio do complemento. Explicando de forma simples e didática:
- Às vezes é difícil contar diretamente quantas palavras têm "pelo menos uma
". Em vez disso, conta-se o total de palavras possíveis (sem restrição) e subtrai-se as palavras que violam a condição (ou seja, as que têm "nenhuma "). - Esse é o método do complemento:
.
Motivo prático: é muito fácil contar o total e também fácil contar as palavras sem; a diferença dá o que queremos.
Passo 3
Contar o total de palavras de
letras sem nenhuma restrição (cada posição pode ser qualquer uma das
letras).
- Princípio multiplicativo (regra do produto): se uma tarefa é composta por
escolhas independentes e a cada escolha há opções, o número total de sequências possíveis é , isto é, . - Para fixar a ideia com números:
- Portanto, o total de palavras de
letras (sem restrição) é
Passo 4
Contar quantas palavras de
letras NÃO contêm a letra
(ou seja, usam apenas as letras
).
- Agora o alfabeto efetivo tem
letras, e cada uma das posições pode receber qualquer uma dessas letras, com repetição. - Novamente pelo princípio multiplicativo, o número de tais palavras é
. - Para ver os valores:
- Portanto, o número de palavras sem nenhuma
é
Passo 5
Aplicando o complemento: o número de palavras de
letras que contêm pelo menos uma
é
Usando os valores calculados nos passos anteriores, temos
e
, logo a expressão fica
Dica rápida para prova: em problemas “pelo menos um” quase sempre o complemento é a saída mais curta — conta-se o total e subtrai-se o caso “zero ocorrências”.