Quantos números de 4 dígitos distintos podem ser formados com os dígitos de 1 a 9 de modo que o número seja maior que 5000 ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dígitos disponíveis:
. - Os quatro dígitos do número devem ser distintos (ou seja, sem repetição).
- O número deve ter 4 dígitos (logo o algarismo das milhares não pode ser
; aqui nem há disponível). - Condição adicional: o número deve ser maior que
.
Pergunta do enunciado: quantos são os números de quatro dígitos distintos, formados com os dígitos
a
, que satisfazem a condição de ser maior que
?
Passo 2
Entender o papel do algarismo das milhares. Para que um número de quatro dígitos seja maior que
, o algarismo das milhares deve ser
,
,
,
ou
. Portanto há exatamente
opções possíveis para o algarismo das milhares:
Explicando com calma: se o algarismo das milhares fosse
ou
o número seria
. Como
não está disponível, não há outra opção.
Passo 3
Depois de escolher o algarismo das milhares (uma das
opções), precisamos escolher os outros três algarismos (centenas, dezenas e unidades) de forma que sejam distintos entre si e diferentes do algarismo já escolhido. Inicialmente há
dígitos disponíveis (
a
), mas um já foi usado nas milhares, então restam
dígitos possíveis para colocar na casa das centenas.
Portanto:
- número de opções para a casa das centenas:
; - após escolher a centena, restam
opções para a casa das dezenas; - após escolher a dezena, restam
opções para a casa das unidades.
Isso é o princípio multiplicativo: se uma escolha pode ser feita de
maneiras e, depois dela, outra de
maneiras, e depois outra de
maneiras, o total é
.
Passo 4
Aplicando o princípio multiplicativo ao problema inteiro: escolher as milhares (
maneiras) e, em seguida, centenas, dezenas e unidades (
,
,
maneiras respectivamente). Assim o total de números é
Passo 5
Vamos calcular passo a passo:
Passo 6
Uma forma alternativa equivalente de ver: depois de fixar que o algarismo das milhares pertence a um conjunto com
elementos, o número de maneiras de escolher e ordenar os
algarismos restantes distintos entre os
dígitos restantes é a permutação
, onde
Aqui
, logo o total é
.