Quantos números de 4 dígitos distintos podem ser formados com os dígitos de 1 a 9 de modo que o número seja maior que 5000 ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dígitos disponíveis: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.
  • Os quatro dígitos do número devem ser distintos (ou seja, sem repetição).
  • O número deve ter 4 dígitos (logo o algarismo das milhares não pode ser 0; aqui nem há 0 disponível).
  • Condição adicional: o número deve ser maior que 5000.
Pergunta do enunciado: quantos são os números de quatro dígitos distintos, formados com os dígitos 1 a 9, que satisfazem a condição de ser maior que 5000?

Passo 2

Entender o papel do algarismo das milhares. Para que um número de quatro dígitos seja maior que 5000, o algarismo das milhares deve ser 5, 6, 7, 8 ou 9. Portanto há exatamente 5 opções possíveis para o algarismo das milhares:
\{5,6,7,8,9\}.
Explicando com calma: se o algarismo das milhares fosse 1,2,3 ou 4 o número seria <5000. Como 0 não está disponível, não há outra opção.

Passo 3

Depois de escolher o algarismo das milhares (uma das 5 opções), precisamos escolher os outros três algarismos (centenas, dezenas e unidades) de forma que sejam distintos entre si e diferentes do algarismo já escolhido. Inicialmente há 9 dígitos disponíveis ( 1 a 9), mas um já foi usado nas milhares, então restam 8 dígitos possíveis para colocar na casa das centenas.
Portanto:
  • número de opções para a casa das centenas: 8;
  • após escolher a centena, restam 7 opções para a casa das dezenas;
  • após escolher a dezena, restam 6 opções para a casa das unidades.
Isso é o princípio multiplicativo: se uma escolha pode ser feita de a maneiras e, depois dela, outra de b maneiras, e depois outra de c maneiras, o total é a\cdot b\cdot c.

Passo 4

Aplicando o princípio multiplicativo ao problema inteiro: escolher as milhares ( 5 maneiras) e, em seguida, centenas, dezenas e unidades ( 8, 7, 6 maneiras respectivamente). Assim o total de números é
5\cdot 8\cdot 7\cdot 6.

Passo 5

Vamos calcular passo a passo:
8\cdot 7 = 56,
56\cdot 6 = 336,
5\cdot 336 = 1680.

Passo 6

Uma forma alternativa equivalente de ver: depois de fixar que o algarismo das milhares pertence a um conjunto com 5 elementos, o número de maneiras de escolher e ordenar os 3 algarismos restantes distintos entre os 8 dígitos restantes é a permutação P(8,3), onde
P(n,k)=n(n-1)\cdots(n-k+1).
Aqui P(8,3)=8\cdot7\cdot6=336, logo o total é 5\cdot P(8,3)=5\cdot336=1680.

Resposta

1680

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