Quantos anagramas da palavra BANANA começam e terminam com a letra A?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos anagramas da palavra BANANA começam e terminam com a letra A?”\n
Informações dadas (peguei estas informações da própria palavra):
  • A palavra tem 6 letras no total.
  • Contagem das letras:
    • A:\;3
    • N:\;2
    • B:\;1\n
      O que preciso encontrar: o número de permutações distintas das letras da palavra que têm A na primeira posição e A na última posição.

Passo 2

Primeira ideia clara (estratégia): se a palavra deve começar e terminar com A, vou “travar” essas duas posições colocando A na posição inicial e A na posição final. Depois conto de quantas formas diferentes posso arranjar as letras que ficaram no meio. Essa é uma forma direta e eficaz de contar.

Passo 3

Executando a ideia: ao colocar A na primeira e na última posição, eu usei 2 das 3 letras A. Portanto, sobram para preencher as 4 posições centrais as seguintes letras:
  • A:\;1
  • N:\;2
  • B:\;1\n
    Agora preciso contar de quantas formas distintas posso permutar essas 4 letras onde há repetições.

Passo 4

Fórmula importante (e por que ela funciona): o número de permutações distintas de n objetos quando há grupos de objetos idênticos de tamanhos n_1,n_2,\dots é
\frac{n!}{n_1!\,n_2!\cdots}
Ideia por trás: se todas as letras fossem distintas haveria n! permutações; como há repetições, divisões por n_i! eliminam as permutações que só trocam letras idênticas entre si.
Aplicando ao nosso caso dos 4 lugares centrais, com multiplicidades 2 para N e 1 para cada um dos outros:
\text{nº de arranjos dos 4}=\frac{4!}{2!\,1!\,1!}.º

Passo 5

Calculemos passo a passo:
4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24, \qquad 2!=2.
Logo
\frac{4!}{2!\,1!\,1!}=\frac{24}{2}=12.

Passo 6

Verificação alternativa (para ficar seguro): escolher a posição do A restante entre as 4 posições centrais tem \binom{4}{1}=4 escolhas; depois restam 3 posições para preencher com N,N,B, que podem ser arranjadas em \dfrac{3!}{2!}=3 maneiras. Multiplicando dá 4\cdot3=12, concordando com o cálculo anterior.

Resposta

12

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