Quantos anagramas da palavra BANANA começam e terminam com a letra A?
Passo 1
O enunciado pede: “Quantos anagramas da palavra BANANA começam e terminam com a letra A?”\n
Informações dadas (peguei estas informações da própria palavra):
Informações dadas (peguei estas informações da própria palavra):
- A palavra tem
letras no total. - Contagem das letras:
-
-
-
\n
O que preciso encontrar: o número de permutações distintas das letras da palavra que têmna primeira posição e na última posição.
-
Passo 2
Primeira ideia clara (estratégia): se a palavra deve começar e terminar com
, vou “travar” essas duas posições colocando
na posição inicial e
na posição final. Depois conto de quantas formas diferentes posso arranjar as letras que ficaram no meio. Essa é uma forma direta e eficaz de contar.
Passo 3
Executando a ideia: ao colocar
na primeira e na última posição, eu usei
das
letras
. Portanto, sobram para preencher as
posições centrais as seguintes letras:
-
-
-
\n
Agora preciso contar de quantas formas distintas posso permutar essasletras onde há repetições.
Passo 4
Fórmula importante (e por que ela funciona): o número de permutações distintas de
objetos quando há grupos de objetos idênticos de tamanhos
é
Ideia por trás: se todas as letras fossem distintas haveria
permutações; como há repetições, divisões por
eliminam as permutações que só trocam letras idênticas entre si.
Aplicando ao nosso caso dos
lugares centrais, com multiplicidades
para
e
para cada um dos outros:
Passo 5
Calculemos passo a passo:
Logo
Passo 6
Verificação alternativa (para ficar seguro): escolher a posição do
restante entre as
posições centrais tem
escolhas; depois restam
posições para preencher com
, que podem ser arranjadas em
maneiras. Multiplicando dá
, concordando com o cálculo anterior.