De quantas maneiras podemos escolher três números distintos do conjunto I50=1,2,3, ldots, 49,50 de modo que sua soma seja um número par?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “De quantas maneiras podemos escolher três números distintos do conjunto de modo que a soma seja par?”
Conteúdo: é um problema de combinatória (contagem) e de paridade.
O que a gente vai usar:
  1. Regra de paridade (quando a soma de números dá par ou ímpar).
  2. Fórmula de combinação .

Passo 2

Primeiro, a regra de paridade:
  • Soma de dois números pares é par.
  • Soma de dois números ímpares é par.
  • Soma de um par com um ímpar é ímpar.
    Como queremos 3 números cuja soma seja par, existem só dois jeitos de distribuir as paridades:
    A) Três números pares.
    B) Dois números ímpares e um número par.

Passo 3

Quantos pares e quantos ímpares tem em ?
  • Pares: → 25 elementos.
  • Ímpares: → 25 elementos.
Agora contamos cada caso:
Caso A (3 pares): escolher 3 de 25 pares → .
Caso B (2 ímpares + 1 par): jeitos de pegar os 2 ímpares e jeitos de pegar o 1 par, total .

Passo 4

Calcular cada combinação:
2300 ;+; 7500 ;=; 9800 .
, e , logo .
Somando os dois casos:

Resposta

O total de maneiras é .

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