De quantas maneiras podemos permutar 3 letras A, 3 letras B e 3 letras C de tal modo que 3 letras iguais nunca sejam adjacentes?

Passo 1

O enunciado pede para contar as permutações das 9 letras (3 de cada de A,B,C) de modo que nenhuma sequência de três letras iguais apareça junta. O conteúdo principal aqui é permutações com repetição e o uso do princípio da inclusão-exclusão para excluir as disposições que contenham AAA, BBB ou CCC como bloco.

Passo 2

Primeiro, sem nenhuma restrição, o número total de permutações das 9 letras é dado por
\frac{9!}{3!\,3!\,3!} = 1680.

Passo 3

Agora, contamos quantas permutações contêm AAA como bloco. Para isso, tratamos essa sequência AAA como uma superletra única, mais as 3 letras B e as 3 letras C. No total temos 1+3+3=7 “objetos”, com repetição de 3 B e 3 C. Logo,
N(AAA) = \frac{7!}{3!\,3!} = 140.
Por simetria, N(BBB)=140 e N(CCC)=140.

Passo 4

Em seguida, consideramos as interseções. Por exemplo, para conter simultaneamente AAA e BBB como blocos, temos as superletras AAA, BBB e as 3 letras C, totalizando 2+3=5 objetos com repetição de 3 C. Então
N(AAA \cap BBB) = \frac{5!}{3!} = 20.
Igualmente N(AAA\cap CCC)=20 e N(BBB\cap CCC)=20.

Passo 5

Finalmente, se todos os três blocos AAA, BBB e CCC aparecem simultaneamente, temos apenas 3 objetos (as três superletras), e
N(AAA\cap BBB\cap CCC) = 3! = 6.

Passo 6

Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número de permutações sem nenhuma sequência de três iguais é
\begin{aligned} N_{\text{válidas}} &= 1680 - \bigl(N(AAA)+N(BBB)+N(CCC)\bigr) + \bigl(N(AAA\cap BBB)+N(AAA\cap CCC)+N(BBB\cap CCC)\bigr)\\\ &\quad - N(AAA\cap BBB\cap CCC)\\\ &= 1680 - 3\cdot140 + 3\cdot20 - 6 = 1314. \end{aligned}á

Resposta

1314 maneiras.

Exercícios relacionados