Quantos são os inteiros, entre 1 e 1000 inclusive, que são divisíveis por exatamente dois dos números 2,3,7 e 10 ? E por pelo menos dois destes números?

Passo 1

O enunciado pede: entre 1 e 1000, contamos quantos números são divisíveis por exatamente dois dos divisores 2,3,7,10 e, em seguida, quantos são divisíveis por pelo menos dois deles.
O método será modelar cada condição como um conjunto de múltiplos e usar contagem via inclusões-exclusões para achar:
  • N_2: quantidade de elementos em exatamente duas dessas interseções,
  • N_{\ge2}: quantidade em pelo menos duas interseções.

Passo 2

Definimos os conjuntos
S_2=\{n:2\mid n\},\quad S_3,\;S_7,\;S_{10}
e calculamos as interseções de tamanho 2 por meio de \mathrm{lcm}:
|S_2\cap S_3|=\lfloor1000/6\rfloor=166,\quad |S_2\cap S_7|=\lfloor1000/14\rfloor=71,\quad |S_2\cap S_{10}|=\lfloor1000/10\rfloor=100
|S_3\cap S_7|=\lfloor1000/21\rfloor=47,\quad |S_3\cap S_{10}|=\lfloor1000/30\rfloor=33,\quad |S_7\cap S_{10}|=\lfloor1000/70\rfloor=14
Somando todos esses valores, obtemos
A=\sum_{|\{i,j\}|=2}|S_i\cap S_j|=166+71+100+47+33+14=431.

Passo 3

Agora as interseções de tamanho 3 e 4:
|S_2\cap S_3\cap S_7|=\lfloor1000/42\rfloor=23,\quad |S_2\cap S_3\cap S_{10}|=\lfloor1000/30\rfloor=33,
|S_2\cap S_7\cap S_{10}|=\lfloor1000/70\rfloor=14,\quad |S_3\cap S_7\cap S_{10}|=\lfloor1000/210\rfloor=4
B=\sum_{|\{i,j,k\}|=3}|S_i\cap S_j\cap S_k|=23+33+14+4=74,
C=|S_2\cap S_3\cap S_7\cap S_{10}|=\lfloor1000/210\rfloor=4.

Passo 4

Pela fórmula de inversão para “exatamente duas” em quatro conjuntos,
N_2 \;=\; A \;-\;3B\;+\;6C
N_2 =431 -3\cdot74 +6\cdot4 =431 -222 +24 =233.

Passo 5

Para “pelo menos duas” somamos as quantidades de exatas duas, três e quatro:
N_3 = B -4C = 74 -16 =58,\qquad N_4 = C =4,
N_{\ge2} = N_2 + N_3 + N_4 =233 +58 +4 =295.

Resposta

Exatamente dois: 233
Pelo menos dois: 295

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