Quantos são os inteiros, entre 1 e 1000 inclusive, que são divisíveis por exatamente dois dos números
e 10 ? E por pelo menos dois destes números?
Passo 1
O enunciado pede: entre 1 e 1000, contamos quantos números são divisíveis por exatamente dois dos divisores
e, em seguida, quantos são divisíveis por pelo menos dois deles.
O método será modelar cada condição como um conjunto de múltiplos e usar contagem via inclusões-exclusões para achar:
O método será modelar cada condição como um conjunto de múltiplos e usar contagem via inclusões-exclusões para achar:
-
: quantidade de elementos em exatamente duas dessas interseções, -
: quantidade em pelo menos duas interseções.
Passo 2
Definimos os conjuntos
e calculamos as interseções de tamanho 2 por meio de
:
Somando todos esses valores, obtemos
Passo 3
Agora as interseções de tamanho 3 e 4:
Passo 4
Pela fórmula de inversão para “exatamente duas” em quatro conjuntos,
Passo 5
Para “pelo menos duas” somamos as quantidades de exatas duas, três e quatro:
Resposta
Exatamente dois:
Pelo menos dois:
Pelo menos dois: