De quantos modos 6 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher não fiquem juntos?
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de sentar 6 casais (12 pessoas) em volta de uma mesa circular de forma que nenhum marido fique ao lado de sua esposa. Aqui vamos usar dois conceitos: permutação circular (para contar disposições em torno de uma mesa) e princípio da inclusão-exclusão (para garantir que nenhum casal fique adjacente).
Passo 2
Sem nenhuma restrição de afastamento, o número de maneiras de dispor
pessoas em volta de uma mesa circular é
Passo 3
Para impor que nenhum casal fique junto, aplicamos o princípio da inclusão-exclusão sobre os eventos
= “o casal
está sentado junto”, para
.
Passo 4
Se fixarmos exatamente
casais de modo que fiquem juntos, tratamos cada casal unido como um bloco. Assim temos
pessoas isoladas mais
blocos, totalizando
“entidades” em volta da mesa. O número de disposições circulares dessas entidades é
e cada bloco pode trocar os dois membros em
ordens, dando um fator
. Logo, o número de disposições com exatamente
casais juntos é
Passo 5
Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número desejado é
Passo 6
Vamos calcular termo a termo (usando
,
e
):
k
:
k :
k :
k :
k :
k :
k :
Somando:
k
k
k
k
k
k