De quantos modos 6 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher não fiquem juntos?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de sentar 6 casais (12 pessoas) em volta de uma mesa circular de forma que nenhum marido fique ao lado de sua esposa. Aqui vamos usar dois conceitos: permutação circular (para contar disposições em torno de uma mesa) e princípio da inclusão-exclusão (para garantir que nenhum casal fique adjacente).

Passo 2

Sem nenhuma restrição de afastamento, o número de maneiras de dispor 12 pessoas em volta de uma mesa circular é
(12-1)! = 11!.

Passo 3

Para impor que nenhum casal fique junto, aplicamos o princípio da inclusão-exclusão sobre os eventos \displaystyle A_i = “o casal i está sentado junto”, para i=1,2,\dots,6.

Passo 4

Se fixarmos exatamente k casais de modo que fiquem juntos, tratamos cada casal unido como um bloco. Assim temos
12-2k
pessoas isoladas mais k blocos, totalizando 12-k “entidades” em volta da mesa. O número de disposições circulares dessas entidades é
(12-k-1)! = (11-k)!,
e cada bloco pode trocar os dois membros em 2! ordens, dando um fator 2^k. Logo, o número de disposições com exatamente k casais juntos é
f(k) = (11-k)!\,2^k.

Passo 5

Pelo princípio da inclusão-exclusão, o número desejado é
\sum_{k=0}^{6} (-1)^k \binom{6}{k}\,(11-k)!\,2^k.

Passo 6

Vamos calcular termo a termo (usando \binom{6}{k}, (11-k)! e 2^k):
k =0: \binom{6}{0}11!\,2^0 = 1\cdot11! = 39\,916\,800
k =1: -\binom{6}{1}10!\,2 = -6\cdot3628800\cdot2 = -43\,545\,600
k =2: \binom{6}{2}9!\,4 = 15\cdot362880\cdot4 = 21\,772\,800
k =3: -\binom{6}{3}8!\,8 = -20\cdot40320\cdot8 = -6\,451\,200
k =4: \binom{6}{4}7!\,16 = 15\cdot5040\cdot16 = 1\,209\,600
k =5: -\binom{6}{5}6!\,32 = -6\cdot720\cdot32 = -138\,240
k =6: \binom{6}{6}5!\,64 = 1\cdot120\cdot64 = 7\,680 Somando:
39\,916\,800 -43\,545\,600 +21\,772\,800 -6\,451\,200 +1\,209\,600 -138\,240 +7\,680 = 12\,771\,840.

Resposta

\,12\,771\,840 maneiras.

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