O enunciado pede para determinar a cardinalidade do conjunto de todas as retas em \mathbb{R}^3. Em outras palavras, queremos saber “quantas” retas existem no espaço, isto é, qual é o cardinal de
\{\ell \subset \mathbb{R}^3 \mid \ell \text{ é reta}\}.
Para isso vamos usar propriedades de cardinalidade de conjuntos infinitos e operações como produto cartesiano e projeções.
Passo 2
Mostramos primeiro que o número de retas é no máximo c, onde definimos
c = \bigl|\mathbb{R}\bigr|\;.
Como cada reta é determinada por dois pontos distintos de \mathbb{R}^3, existe uma aplicação injetiva
\{\text{retas em }\mathbb{R}^3\} \;\hookrightarrow\; \bigl(\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\bigr)\setminus\{(p,p)\}\;.
Mas \bigl|\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\bigr| = c\cdot c = c, e remover a diagonal não altera o cardinal. Logo
\bigl|\{\text{retas em }\mathbb{R}^3\}\bigr|\;\le\;c\;.
Passo 3
Agora mostramos que o número de retas é pelo menos c. Basta considerar todas as retas que passam pela origem O. Cada uma é dada por \ell_v = \{t\,v\mid t\in\mathbb{R}\}
onde v\in\mathbb{R}^3\setminus\{0\} é a direção. Identificar direções é o mesmo que considerar o espaço projetivo real \mathbb{P}^2(\mathbb{R}), cuja cardinalidade é também c. Assim
\bigl|\{\text{retas que passam por }O\}\bigr| \;=\;\bigl|\mathbb{P}^2(\mathbb{R})\bigr| \;=\;c
e portanto
\bigl|\{\text{retas em }\mathbb{R}^3\}\bigr|\;\ge\;c\;.
Passo 4
Como mostramos
\bigl|\{\text{retas em }\mathbb{R}^3\}\bigr|\;\le\;c \quad\text{e}\quad \bigl|\{\text{retas em }\mathbb{R}^3\}\bigr|\;\ge\;c,
concluímos que a igualdade se impõe.
Resposta
O conjunto de todas as retas em \mathbb{R}^3 tem cardinalidade do contínuo, ou seja
\bigl|\{\text{retas em }\mathbb{R}^3\}\bigr| \;=\;\bigl|\mathbb{R}\bigr| \;=\;2^{\aleph_0}\;.