Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”:
que têm a p, em primeiro lugar ou a letra a, em segundo?

Passo 1

O enunciado pede: quantos anagramas (rearranjos das letras) da palavra “CAPÍTULO” satisfazem a condição “a letra P está em primeiro lugar” ou a condição “a letra A está em segundo lugar” (interpreto o “ou” de forma inclusiva: aceitamos casos que satisfazem uma ou as duas condições). Informações relevantes dadas pelo enunciado: a palavra “CAPÍTULO” tem 8 letras distintas (as letras são C, A, P, Í, T, U, L, OÍ), logo cada anagrama é uma permutação de 8 elementos.

Passo 2

Conceito usado: permutação de n objetos distintos. A quantidade de permutações de n objetos distintos é dada por n! (lê-se “n fatorial”), definida por
n! = n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdots2\cdot1.
Exemplo pequeno: 4! = 4\cdot3\cdot2\cdot1 = 24. No nosso caso, o total de anagramas sem restrição seria 8!, mas não precisamos desse valor final para resolver a pergunta com as condições dadas — usaremos o princípio de fixar posições.

Passo 3

Contagem dos anagramas com a letra P em primeiro lugar. Se fixamos P na posição 1, restam 7 posições a preencher com as 7 letras restantes, todas distintas. O número de maneiras de preencher essas 7 posições é
7!.
Calculemos 7!:
7! = 7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 5040.
Portanto, há 5040 anagramas com P em primeiro lugar.

Passo 4

Contagem dos anagramas com a letra A em segundo lugar. Ao fixar A na posição 2, restam também 7 posições a preencher com as 7 letras restantes, portanto o número de anagramas é novamente
7! = 5040.

Passo 5

Contagem dos anagramas que satisfazem ambas as condições: P em primeiro lugar e A em segundo lugar. Fixando essas duas posições, restam 6 letras para permutar nas 6 posições restantes. O número de anagramas que satisfazem ambas as condições é
6!.
Calculemos 6!:
6! = 6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 720.

Passo 6

Agora aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para contar quantos anagramas satisfazem " P em primeiro lugar OU A em segundo lugar" (união dos dois conjuntos). Sejam X o conjunto com P na posição 1 e Y o conjunto com A na posição 2. Então
|X\cup Y| = |X| + |Y| - |X\cap Y|.
Substituindo os valores que encontramos:
|X\cup Y| = 7! + 7! - 6! = 5040 + 5040 - 720.
Façamos a conta:
5040 + 5040 = 10080,
10080 - 720 = 9360.

Resposta

9360

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