Quantos são os anagramas da palavra “CAPÍTULO”:
que têm a p, em primeiro lugar ou a letra a, em segundo?
que têm a p, em primeiro lugar ou a letra a, em segundo?
Passo 1
O enunciado pede: quantos anagramas (rearranjos das letras) da palavra “CAPÍTULO” satisfazem a condição “a letra
está em primeiro lugar” ou a condição “a letra
está em segundo lugar” (interpreto o “ou” de forma inclusiva: aceitamos casos que satisfazem uma ou as duas condições). Informações relevantes dadas pelo enunciado: a palavra “CAPÍTULO” tem
letras distintas (as letras são
), logo cada anagrama é uma permutação de
elementos.
Passo 2
Conceito usado: permutação de
objetos distintos. A quantidade de permutações de
objetos distintos é dada por
(lê-se “n fatorial”), definida por
Exemplo pequeno:
. No nosso caso, o total de anagramas sem restrição seria
, mas não precisamos desse valor final para resolver a pergunta com as condições dadas — usaremos o princípio de fixar posições.
Passo 3
Contagem dos anagramas com a letra
em primeiro lugar. Se fixamos
na posição 1, restam
posições a preencher com as
letras restantes, todas distintas. O número de maneiras de preencher essas
posições é
Calculemos
:
Portanto, há
anagramas com
em primeiro lugar.
Passo 4
Contagem dos anagramas com a letra
em segundo lugar. Ao fixar
na posição 2, restam também
posições a preencher com as
letras restantes, portanto o número de anagramas é novamente
Passo 5
Contagem dos anagramas que satisfazem ambas as condições:
em primeiro lugar e
em segundo lugar. Fixando essas duas posições, restam
letras para permutar nas
posições restantes. O número de anagramas que satisfazem ambas as condições é
Calculemos
:
Passo 6
Agora aplicamos o princípio da inclusão-exclusão para contar quantos anagramas satisfazem "
em primeiro lugar OU
em segundo lugar" (união dos dois conjuntos). Sejam
o conjunto com
na posição 1 e
o conjunto com
na posição 2. Então
Substituindo os valores que encontramos:
Façamos a conta: