Quantas são as sequências de
termos, todos pertencentes a
, que possuem um número ímpar de termos iguais a 0?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos sequências de n termos, onde cada termo pode ser 0 ou 1. Queremos saber quantas dessas sequências têm um número ímpar de termões iguais a 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e informática básica sobre sequências binárias.
Passo 2
Cada posição na sequência pode ser ocupada por 0 ou 1. Portanto, para cada termo, temos 2 opções. Assim, o total de sequências possíveis com n termos é 2ⁿ. Isso é uma regra básica de contagem: se temos m opções para cada um de k eventos independentes, o total de combinações é mᵏ.
Passo 3
Agora, queremos contar apenas as sequências que têm um número ímpar de 0s. Isso significa que estamos procurando todas as maneiras de escolher 1, 3, 5, …, até o máximo ímpar menor ou igual a n posições para colocar 0s, e os demais serão 1s.
Passo 4
Para cada número ímpar de 0s, podemos usar a combinação para calcular de quantas maneiras podemos escolher essas posições. A combinação é representada por
, onde n é o total de posições e k é o número de posições que queremos escolher para os 0s.
Passo 5
Portanto, a quantidade total de sequências com um número ímpar de 0s é a soma de todas as combinações onde k é ímpar:
Passo 6
Sabemos que a soma das combinações onde k é ímpar é igual a metade do total de sequências possíveis. Ou seja:
Resposta
O número de sequências de n termos, todos em {0,1}, que possuem um número ímpar de termos iguais a 0 é
.