Quantas são as sequências de n termos, todos pertencentes a 0,1, que possuem um número ímpar de termos iguais a 0?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos sequências de n termos, onde cada termo pode ser 0 ou 1. Queremos saber quantas dessas sequências têm um número ímpar de termões iguais a 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação e informática básica sobre sequências binárias.

Passo 2

Cada posição na sequência pode ser ocupada por 0 ou 1. Portanto, para cada termo, temos 2 opções. Assim, o total de sequências possíveis com n termos é 2ⁿ. Isso é uma regra básica de contagem: se temos m opções para cada um de k eventos independentes, o total de combinações é mᵏ.

Passo 3

Agora, queremos contar apenas as sequências que têm um número ímpar de 0s. Isso significa que estamos procurando todas as maneiras de escolher 1, 3, 5, …, até o máximo ímpar menor ou igual a n posições para colocar 0s, e os demais serão 1s.

Passo 4

Para cada número ímpar de 0s, podemos usar a combinação para calcular de quantas maneiras podemos escolher essas posições. A combinação é representada por binomnk, onde n é o total de posições e k é o número de posições que queremos escolher para os 0s.

Passo 5

Portanto, a quantidade total de sequências com um número ímpar de 0s é a soma de todas as combinações onde k é ímpar:
sumsubstackk=1k ímpar^n binomnk í

Passo 6

Sabemos que a soma das combinações onde k é ímpar é igual a metade do total de sequências possíveis. Ou seja:
sumsubstackk=1k ímpar^n binomnk = 2^n2 = 2^n-1 í

Resposta

O número de sequências de n termos, todos em {0,1}, que possuem um número ímpar de termos iguais a 0 é 2^n-1.

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