Suponha que 2 cartas sejam retiradas, uma após a outra, sem reposição, de um baralho completo ( 52 cartas). Seja X o número de valetes obtido e Y o número de damas.
c) Encontre a distribuição de probabilidade condicional de X (dado Y) e a de Y (dado X);

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede. Temos um baralho completo de 52 cartas. Retiramos 2 cartas, uma após a outra, sem colocar a primeira de volta no baralho. Definimos duas variáveis:
  • X: número de valetes (Jacks) obtidos.
  • Y: número de damas (Queens) obtidos.
A parte © da questão nos pede para encontrar a distribuição de probabilidade condicional de X dado Y, e de Y dado X. Isso significa que queremos saber a probabilidade de obter um certo número de valetes considerando que já sabemos quantas damas foram obtidas, e vice-versa.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
  • Probabilidade Condicional: É a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já ocorreu.
  • Distribuição de Probabilidade: Mostra todas as possíveis valores que uma variável aleatória pode assumir e as probabilidades associadas a cada valor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações de X e Y ao retirar 2 cartas. Como estamos tirando 2 cartas, as combinações possíveis são:
  • Ambos são não valetes nem damas.
  • Um é valete e o outro não é damas.
  • Um é dama e o outro não é valetes.
  • Ambos são valetes.
  • Ambos são damas.
Mas, como X e Y contam o número de valetes e damas respectivamente, as possíveis combinações são:
  • X = 0, Y = 0
  • X = 0, Y = 1
  • X = 0, Y = 2
  • X = 1, Y = 0
  • X = 1, Y = 1
  • X = 2, Y = 0
Não pode haver X = 2 e Y = 2 porque estamos retirando apenas 2 cartas.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações.
Primeiro, sabemos que há 4 valetes e 4 damas em um baralho de 52 cartas.
A probabilidade de tirar um valete na primeira carta é 452, depois 351 na segunda, e assim por diante. Similarmente para damas.

Passo 4

Agora, vamos calcular as probabilidades conjuntas de X e Y.
  • P(X = 0, Y = 0): Nenhuma das cartas é valete nem dama.
    Existem 44 cartas que não são valetes nem damas. Então:
    P(X=0, Y=0) = 4452 times 4351 = 44 times 4352 times 51
  • P(X = 0, Y = 1): Uma dama e uma carta que não é valete nem dama.
    P(X=0, Y=1) = 452 times 4451 + 4452 times 451 = 2 times 4 times 4452 times 51
  • P(X = 0, Y = 2): Ambas as cartas são damas.
    P(X=0, Y=2) = 452 times 351 = 4 times 352 times 51
  • P(X = 1, Y = 0): Um valete e uma carta que não é valete nem dama.
    P(X=1, Y=0) = 452 times 4451 + 4452 times 451 = 2 times 4 times 4452 times 51
  • P(X = 1, Y = 1): Um valete e uma dama.
    P(X=1, Y=1) = 452 times 451 + 452 times 451 = 2 times 4 times 452 times 51
  • P(X = 2, Y = 0): Ambos os cartas são valetes.
    P(X=2, Y=0) = 452 times 351 = 4 times 352 times 51

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades condicionais.

Distribuição de X dado Y

Queremos encontrar P(X = x mid Y = y) para cada valor de x dado um valor específico de y.
A fórmula da probabilidade condicional é:
P(X = x mid Y = y) = P(X = x, Y = y)P(Y = y)
Primeiro, precisamos das probabilidades marginais de Y:
  • P(Y = 0) = P(X=0, Y=0) + P(X=1, Y=0) + P(X=2, Y=0)
  • P(Y = 1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=1)
  • P(Y = 2) = P(X=0, Y=2)
Assim, podemos calcular P(X = x mid Y = y) para cada caso.

Distribuição de Y dado X

De forma similar, queremos encontrar P(Y = y mid X = x) para cada valor de y dado um valor específico de x.
Usamos a mesma fórmula de probabilidade condicional:
P(Y = y mid X = x) = P(X = x, Y = y)P(X = x)
E calculamos as probabilidades marginais de X:
  • P(X = 0) = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1) + P(X=0, Y=2)
  • P(X = 1) = P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1)
  • P(X = 2) = P(X=2, Y=0)

Passo 6

Finalmente, vamos resumir as distribuições condicionais encontradas.

Resposta

A distribuição de probabilidade condicional de X dado Y é:
  • Para Y = 0:
    P(X = 0 mid Y = 0) = P(X=0, Y=0)P(Y=0)
    P(X = 1 mid Y = 0) = P(X=1, Y=0)P(Y=0)
    P(X = 2 mid Y = 0) = P(X=2, Y=0)P(Y=0)
  • Para Y = 1:
    P(X = 0 mid Y = 1) = P(X=0, Y=1)P(Y=1)
    P(X = 1 mid Y = 1) = P(X=1, Y=1)P(Y=1)
  • Para Y = 2:
    P(X = 0 mid Y = 2) = P(X=0, Y=2)P(Y=2)
E a distribuição de probabilidade condicional de Y dado X é:
  • Para X = 0:
    P(Y = 0 mid X = 0) = P(X=0, Y=0)P(X=0)
    P(Y = 1 mid X = 0) = P(X=0, Y=1)P(X=0)
    P(Y = 2 mid X = 0) = P(X=0, Y=2)P(X=0)
  • Para X = 1:
    P(Y = 0 mid X = 1) = P(X=1, Y=0)P(X=1)
    P(Y = 1 mid X = 1) = P(X=1, Y=1)P(X=1)
  • Para X = 2:
    P(Y = 0 mid X = 2) = P(X=2, Y=0)P(X=2)
Essas expressões representam as distribuições condicionais solicitadas.

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