Suponha que 2 cartas sejam retiradas, uma após a outra, sem reposição, de um baralho completo ( 52 cartas). Seja X o número de valetes obtido e Y o número de damas.
c) Encontre a distribuição de probabilidade condicional de X (dado Y) e a de Y (dado X);
c) Encontre a distribuição de probabilidade condicional de X (dado Y) e a de Y (dado X);
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede. Temos um baralho completo de 52 cartas. Retiramos 2 cartas, uma após a outra, sem colocar a primeira de volta no baralho. Definimos duas variáveis:
- X: número de valetes (Jacks) obtidos.
- Y: número de damas (Queens) obtidos.
A parte © da questão nos pede para encontrar a distribuição de probabilidade condicional de X dado Y, e de Y dado X. Isso significa que queremos saber a probabilidade de obter um certo número de valetes considerando que já sabemos quantas damas foram obtidas, e vice-versa.
Para resolver isso, vamos precisar entender:
- Probabilidade Condicional: É a probabilidade de um evento ocorrer dado que outro evento já ocorreu.
- Distribuição de Probabilidade: Mostra todas as possíveis valores que uma variável aleatória pode assumir e as probabilidades associadas a cada valor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as possíveis combinações de X e Y ao retirar 2 cartas. Como estamos tirando 2 cartas, as combinações possíveis são:
- Ambos são não valetes nem damas.
- Um é valete e o outro não é damas.
- Um é dama e o outro não é valetes.
- Ambos são valetes.
- Ambos são damas.
Mas, como X e Y contam o número de valetes e damas respectivamente, as possíveis combinações são:
- X = 0, Y = 0
- X = 0, Y = 1
- X = 0, Y = 2
- X = 1, Y = 0
- X = 1, Y = 1
- X = 2, Y = 0
Não pode haver X = 2 e Y = 2 porque estamos retirando apenas 2 cartas.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de cada uma dessas combinações.
Primeiro, sabemos que há 4 valetes e 4 damas em um baralho de 52 cartas.
A probabilidade de tirar um valete na primeira carta é
, depois
na segunda, e assim por diante. Similarmente para damas.
Passo 4
Agora, vamos calcular as probabilidades conjuntas de X e Y.
-
P(X = 0, Y = 0): Nenhuma das cartas é valete nem dama.Existem 44 cartas que não são valetes nem damas. Então:
-
P(X = 0, Y = 1): Uma dama e uma carta que não é valete nem dama.
-
P(X = 0, Y = 2): Ambas as cartas são damas.
-
P(X = 1, Y = 0): Um valete e uma carta que não é valete nem dama.
-
P(X = 1, Y = 1): Um valete e uma dama.
-
P(X = 2, Y = 0): Ambos os cartas são valetes.
Passo 5
Agora, vamos calcular as probabilidades condicionais.
Distribuição de X dado Y
Queremos encontrar
para cada valor de x dado um valor específico de y.
A fórmula da probabilidade condicional é:
Primeiro, precisamos das probabilidades marginais de Y:
- P(Y = 0) =
- P(Y = 1) =
- P(Y = 2) =
Assim, podemos calcular
para cada caso.
Distribuição de Y dado X
De forma similar, queremos encontrar
para cada valor de y dado um valor específico de x.
Usamos a mesma fórmula de probabilidade condicional:
E calculamos as probabilidades marginais de X:
- P(X = 0) =
- P(X = 1) =
- P(X = 2) =
Passo 6
Finalmente, vamos resumir as distribuições condicionais encontradas.
Resposta
A distribuição de probabilidade condicional de X dado Y é:
-
Para Y = 0:
-
Para Y = 1:
-
Para Y = 2:
E a distribuição de probabilidade condicional de Y dado X é:
-
Para X = 0:
-
Para X = 1:
-
Para X = 2:
Essas expressões representam as distribuições condicionais solicitadas.