Questão 15 (Adaptado do exercício 21 da seção 7.5 [1]). O consumo de combustível é uma V.A com parâmetros dependendo do tipo de veículo. Suponha que, para um certo automóvel, a variância do consumo seja conhecido e igual a
. Porém precisamos de informações sobre o consumo médio. Para tal, coletamos uma amostra de 40 automóveis desse modelo e observamos o seu consumo.
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Qual seria um estimador do consumo médio para todos os automóveis desse tipo?
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Qual seria um estimador do consumo médio para todos os automóveis desse tipo?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente sabe que o consumo de combustível de um automóvel é uma variável aleatória (V.A) que depende do tipo do veículo. Aqui, já sabemos que a variância do consumo é
. O que a gente precisa descobrir é qual é o consumo médio desses automóveis. Para isso, coletamos uma amostra de 40 carros desse modelo e medimos o consumo de cada um. Vamos usar conhecimentos de Estatística, mais especificamente de estimação de parâmetros, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um estimador. Um estimador é uma regra ou fórmula que usamos para calcular uma estimativa de um parâmetro desconhecido da população, como a média de consumo no nosso caso.
Passo 3
Aqui, queremos estimar o consumo médio de todos os automóveis desse tipo, ou seja, estamos buscando uma estimativa para a média populacional, que chamamos de
.
Passo 4
Quando temos uma amostra de dados e queremos estimar a média da população, o estimador mais comum é a média amostral. A média amostral é simplesmente a soma dos consumos observados dividida pelo número de observações na amostra.
Passo 5
Vamos definir a média amostral matematicamente. Se tivermos os consumos observados
, a média amostral
é dada por:
Onde
é o tamanho da amostra, que nesse caso é 40.
Passo 6
Esta média amostral
é nosso estimador para o consumo médio
de todos os automóveis desse tipo. Isso porque, em teoria, quanto maior a amostra, mais a média amostral se aproxima da média verdadeira da população.
Resposta
Um bom estimador para o consumo médio de todos os automóveis desse tipo é a média amostral
, calculada pela soma dos consumos observados dividida por 40: