Uma urna contém três bolas pretas e duas bolas vermelhas. Realizam-se três extrações sem reposição. Sejam X o número de bolas pretas obtidas e Y o número de bolas vermelhas extraídas antes da primeira bola preta.
b) Determine a distribuição de probabilidade marginal de X e Y ;
b) Determine a distribuição de probabilidade marginal de X e Y ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 3 bolas pretas e 2 bolas vermelhas. A gente vai fazer 3 extrações sem colocar as bolas de volta. Temos duas variáveis: $ X $, que representa o número de bolas pretas que a gente tira, e $ Y $, que conta quantas bolas vermelhas a gente tira antes de tirar a primeira bola preta. Nosso objetivo aqui é descobrir a distribuição de probabilidade marginal de $ X $ e de $ Y $. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre combinações e probabilidade sem reposição.
Passo 2
Vamos começar encontrando a distribuição de probabilidade marginal de $ X $. Isso significa que queremos saber quais são as probabilidades de tirar 0, 1, 2 ou 3 bolas pretas em três extrações.
Primeiro, calculamos o total de maneiras de tirar 3 bolas de um total de 5 (3 pretas + 2 vermelhas):
Agora, vamos ver as possibilidades para cada valor de $ X $:
-
$ X = 0 $: Tirar 0 bolas pretas, ou seja, todas vermelhas. Como temos só 2 bolas vermelhas, isso não é possível em 3 extrações. Então, $ P(X = 0) = 0 $.
-
$ X = 1 $: Tirar 1 bola preta e 2 vermelhas. O número de combinações para isso é:
Então, $ P(X = 1) = \frac{3}{10} $.
- $ X = 2 $: Tirar 2 bolas pretas e 1 vermelha. As combinações são:
Então, $ P(X = 2) = \frac{6}{10} = 0,6 $.
- $ X = 3 $: Tirar todas as 3 bolas pretas. Isso dá:
Então, $ P(X = 3) = \frac{1}{10} = 0,1 $.
Passo 3
Agora, vamos determinar a distribuição de probabilidade marginal de $ Y $, que é o número de bolas vermelhas retiradas antes da primeira preta.
Aqui, temos que considerar quando a primeira bola preta aparece nas diferentes posições das extrações:
- $ Y = 0 $: A primeira bola é preta. Isso significa que na primeira extração tiramos uma preta. A probabilidade disso é:
- $ Y = 1 $: A primeira bola é vermelha e a segunda é preta. Primeiro tiramos uma vermelha, depois uma preta. A probabilidade é:
- $ Y = 2 $: As duas primeiras bolas são vermelhas e a terceira é preta. A probabilidade é:
Não há possibilidade de $ Y $ ser maior que 2, já que temos apenas 2 bolas vermelhas.
Resposta
A distribuição de probabilidade marginal de $ X $ é:
E a distribuição de probabilidade marginal de $ Y $ é: