As quatro cordas de um violino possuem espessuras diferentes, porém as tensões nelas são aproximadamente iguais. a) A velocidade das ondas é maior na corda mais grossa ou na mais fina? Por quê? b) A frequência de vibração fundamental se comporta de modo diferente quando a corda é espessa e quando é fina? c) Com que tensão uma corda de comprimento igual a
e massa de
deve ser esticada para que uma onda transversal com frequência de
possua um comprimento de onda igual a
? Explique suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre ondas em cordas de violino! A questão fala sobre como diferentes espessuras das cordas afetam a velocidade das ondas, a frequência de vibração e a tensão necessária para certas condições. Vamos precisar usar conceitos de física relacionados a ondas mecânicas, velocidade das ondas em cordas, frequência fundamental e a relação entre tensão, massa e velocidade.
Passo 2
Letra a: A velocidade das ondas é maior na corda mais grossa ou na mais fina? Por quê?
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade das ondas em uma corda é dada pela fórmula:
Onde:
- $ v $ é a velocidade da onda,
- $ T $ é a tensão na corda,
- $ \mu $ é a densidade linear de massa da corda (massa por unidade de comprimento).
Como a tensão $ T $ é aproximadamente a mesma em todas as cordas, a velocidade das ondas depende inversamente da raiz quadrada da densidade linear $ \mu $. Cordas mais grossas têm mais massa por unidade de comprimento (maior $ \mu $), o que diminui a velocidade da onda. Portanto, as ondas se propagam mais rápido nas cordas mais finas porque elas têm menor densidade linear de massa.
Passo 3
Letra b: A frequência de vibração fundamental se comporta de modo diferente quando a corda é espessa e quando é fina?
A frequência fundamental $ f $ de uma corda é dada por:
Onde:
- $ L $ é o comprimento da corda.
Novamente, com a tensão $ T $ e o comprimento $ L $ sendo iguais para todas as cordas, a frequência depende da raiz quadrada da inversa da densidade linear $ \mu $. Então, cordas mais finas (menor $ \mu $) terão frequências fundamentais mais altas, enquanto cordas mais grossas (maior $ \mu $) terão frequências fundamentais mais baixas.
Passo 4
Letra c: Com que tensão uma corda de comprimento igual a $ 2,50 , m $ e massa de $ 0,120 , kg $ deve ser esticada para que uma onda transversal com frequência de $ 40,0 , Hz $ possua um comprimento de onda igual a $ 0,750 , m $?
Vamos usar a relação entre velocidade $ v $, frequência $ f $ e comprimento de onda $ \lambda $:
Primeiro, calculamos a velocidade da onda:
Agora, sabemos que:
Onde:
- $ \mu = \frac{m}{L} $
- $ m = 0,120 , kg $
- $ L = 2,50 , m $
Calculamos $ \mu $:
Agora, substituímos na fórmula da velocidade e resolvemos para $ T $:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por $ 0,048 $:
Resposta
a) As ondas se propagam mais rápido nas cordas mais finas porque elas têm menor densidade linear de massa.
b) A frequência fundamental é maior nas cordas mais finas e menor nas mais grossas, devido à diferença na densidade linear de massa.
c) A corda deve ser esticada com uma tensão de 43,2 N.