Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado para que a probabilidade de obter algum seis seja superior a 0,9?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pergunta: Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado para que a probabilidade de obter algum seis seja superior a 0,9?
Estamos lidando com probabilidade, mais precisamente com probabilidades em experimentos repetidos. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade complementar e probabilidade de eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a questão quer dizer. Queremos que a chance de pelo menos um seis em vários lançamentos seja maior que 90% (ou 0,9).
Matematicamente, isso fica:
P(pelo menos um seis) > 0,9

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos usar a probabilidade complementar. Em vez de calcular diretamente a chance de obter pelo menos um seis, vamos calcular a chance de não obter nenhum seis e depois subtrair essa probabilidade de 1.
Ou seja:
P(pelo menos um seis) = 1 - P(nenhum seis)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ P(nenhum seis) $. Em um único lançamento de um dado, a chance de não sair seis é de $ \frac{5}{6} $, já que há 5 resultados que não são seis.
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de não sair nenhum seis em $ n $ lançamentos é:
P(nenhum seis)

Passo 5

Voltando à nossa equação original:
1 - ( 56 )^n > 0,9
Vamos resolver para $ n $:
Primeiro, subtraímos 1 dos dois lados:
n
Multiplicando por -1 (lembre-se de inverter o sinal da desigualdade):
- ( 56 )^n > -0,1

Passo 6

Para resolver a desigualdade $ \left( \frac{5}{6} \right)^n < 0,1 $, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural (ln) dos dois lados:
( 56 )^n < 0,1
Usando a propriedade dos logaritmos:
ln( ( 56 )^n ) < ln(0,1)

Passo 7

Agora isolamos $ n $:
n
Calculando os valores:
n > ln(0,1)ln( 56 )
ln(0,1) approx -2,302585
Então:
ln( 56 ) approx -0,182322

Passo 8

Como $ n $ precisa ser um número inteiro (não dá para lançar o dado uma fração de vez), arredondamos para cima. Portanto, o menor número de lançamentos necessário é 13.

Resposta

O mínimo de lançamentos necessários é 13 vezes para que a probabilidade de obter pelo menos um seis seja superior a 0,9.

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