Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado para que a probabilidade de obter algum seis seja superior a 0,9?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão pergunta: Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado para que a probabilidade de obter algum seis seja superior a 0,9?
Estamos lidando com probabilidade, mais precisamente com probabilidades em experimentos repetidos. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade complementar e probabilidade de eventos independentes.
Estamos lidando com probabilidade, mais precisamente com probabilidades em experimentos repetidos. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade complementar e probabilidade de eventos independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a questão quer dizer. Queremos que a chance de pelo menos um seis em vários lançamentos seja maior que 90% (ou 0,9).
Matematicamente, isso fica:
Matematicamente, isso fica:
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos usar a probabilidade complementar. Em vez de calcular diretamente a chance de obter pelo menos um seis, vamos calcular a chance de não obter nenhum seis e depois subtrair essa probabilidade de 1.
Ou seja:
Ou seja:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ P(nenhum seis) $. Em um único lançamento de um dado, a chance de não sair seis é de $ \frac{5}{6} $, já que há 5 resultados que não são seis.
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de não sair nenhum seis em $ n $ lançamentos é:
Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de não sair nenhum seis em $ n $ lançamentos é:
Passo 5
Voltando à nossa equação original:
Vamos resolver para $ n $:
Primeiro, subtraímos 1 dos dois lados:
Multiplicando por -1 (lembre-se de inverter o sinal da desigualdade):
Passo 6
Para resolver a desigualdade $ \left( \frac{5}{6} \right)^n < 0,1 $, vamos usar logaritmos. Aplicando o logaritmo natural (ln) dos dois lados:
Usando a propriedade dos logaritmos:
Passo 7
Agora isolamos $ n $:
Calculando os valores:
Então:
Passo 8
Como $ n $ precisa ser um número inteiro (não dá para lançar o dado uma fração de vez), arredondamos para cima. Portanto, o menor número de lançamentos necessário é 13.
Resposta
O mínimo de lançamentos necessários é 13 vezes para que a probabilidade de obter pelo menos um seis seja superior a 0,9.