A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto em uma cidade é representada pela variável Y com função densidade dada por:
f(y)=89 y-49, 0,5 <= y<2
Verifique que a função f(t) satisfaz a definição de densidade, encontre a função de distribuição acumulada F(t) e obtenha:
Obs.: responda utilizando 3 casas decimais.
e) A mediana de Y=

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua f(y)=89,y-49, 0,5<= y<2 que mede, em milhões de reais, o gasto anual com manutenção de asfalto numa cidade. A densidade dela é
O que precisamos fazer:
  1. Verificar se isso é mesmo uma função de densidade (isto é, e ).
  2. Achar a função de distribuição acumulada .
  3. Encontrar a mediana de , ou seja, o valor que faz .
O assunto aqui é variáveis contínuas, PDF, CDF e mediana, e vamos usar principalmente integrais simples.

Passo 2

Verificando que integral0.5^2l(89y-49r),dy =l[89y^22-49yr]0.5^2 =l[49y^2-49yr]0.5^2 é densidade:
  1. Não-negatividade:
    • Em , .
    • A derivada de é , então só cresce e é até .
  2. Integral igual a 1:
Em :
Em :
Diferença:
Logo, . Tudo certo, é densidade.

Passo 3

Agora construímos a CDF F(t)=integral0.5^tl(89y-49r),dy =l[49y^2-49yr]0.5^t =4t^2-4t+19 :
  • Para F(t)= 0, & t<0.5, dfrac4t^2-4t+19, & 0.5<= t<2, 1, & t>=2 , .
  • Para ,
  • Para , .
Resumindo:

Passo 4

Pra achar a mediana 4A^2-4A+19=0.5 Longrightarrow 4A^2-4A+1=4.5 Longrightarrow 4A^2-4A-3.5=0 , resolvemos A=8pmraiz8^2-4cdot8cdot(-7)2cdot8 =8pmraiz64+22416 =8pmraiz28816 =8pm12raiz216 na faixa válida A=8+12raiz216approx1.561 :
Multiplicando por 2: . A fórmula de bhaskara dá
Temos duas soluções, mas só faz sentido pegar a que está entre 0.5 e 2, ou seja

Resposta

A mediana é aproximadamente .

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