A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto em uma cidade é representada pela variável com função densidade dada por:
Verifique que a função satisfaz a definição de densidade, encontre a função de distribuição acumulada e obtenha:
Obs.: responda utilizando 3 casas decimais.
e) mediana de
Passo 1
Então, o enunciado diz que temos uma variável aleatória contínua que mede, em milhões de reais, o gasto anual com manutenção de asfalto numa cidade. A densidade dela é
O que precisamos fazer:
Verificar se isso é mesmo uma função de densidade (isto é, e ).
Achar a função de distribuição acumulada .
Encontrar a mediana de , ou seja, o valor que faz .
O assunto aqui é variáveis contínuas, PDF, CDF e mediana, e vamos usar principalmente integrais simples.
Passo 2
Verificando que é densidade:
Não-negatividade:
Em , .
A derivada de é , então só cresce e é até .
Integral igual a 1:
Em :
Em :
Diferença:
Logo, . Tudo certo, é densidade.
Passo 3
Agora construímos a CDF :
Para , .
Para ,
Para , .
Resumindo:
Passo 4
Pra achar a mediana 4A^2-4A+19=0.5 Longrightarrow 4A^2-4A+1=4.5 Longrightarrow 4A^2-4A-3.5=0 , resolvemos A=8pmraiz8^2-4cdot8cdot(-7)2cdot8 =8pmraiz64+22416 =8pmraiz28816 =8pm12raiz216 na faixa válida A=8+12raiz216approx1.561 :
Multiplicando por 2: . A fórmula de bhaskara dá
Temos duas soluções, mas só faz sentido pegar a que está entre 0.5 e 2, ou seja