Num teste educacional, o tempo para a realização de uma bateria de questões de raciocínio verbal e lógico é medido e anotado para ser comprado com um modelo teórico. Este teste é utilizado para identificar o desenvolvimento das crianças e auxiliar a aplicação de medidas corretivas. O modelo teórico considera , tempo de teste em minutos, como uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por:
Verifique que a função satisfaz a definição de densidade, encontre a função de distribuição acumulada e calcule:
Obs.: responda utilizando 4 casas decimais.
e) Sabendo que a mediana (M) tem a propriedade de , qual o valor da mediana?
Passo 1
Beleza, olha o que o exercício tá pedindo: a gente tem uma variável contínua (tempo em minutos) com a densidade
Isso é sobre distribuições contínuas: precisamos ver que isso é mesmo uma pdf (isto é, integra pra 1), achar a função de distribuição acumulada e, por fim, na parte (e), calcular a mediana tal que . Vamos usar integrais para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se integral8^10140(t-4),dt =140integral8^10(t-4),dt =140l[tfrac(t-4)^22r]8^10 =140cdot(10-4)^2-(8-4)^22 =36-1680 =2080 =0,25 . Como integral10^15320,dt =320(15-10) =320cdot5 =1520 =0,75 fora de , basta fazer a integral em duas partes:
De 8 a 10:
De 10 a 15:
Somando: . Beleza, está normalizado!
Passo 3
Agora a CDF F(t)=integral8^t140(u-4),du =140l[tfrac(u-4)^22r]8^t =(t-4)^2-1680 . Vamos montar em pedaços:
Se F(10)=(10-4)^2-1680=36-1680=0,25, , F(t)=0,25+integral10^t320,du =0,25+320(t-10) =0,25+0,15,(t-10) =0,15,t-1,25 .
Se ,
Se , usamos o valor em mais a parte de 10 até :
então, para entre 10 e 15,
Se , .
Passo 4
A mediana F(t)=0,15,t-1,25 satisfaz 0,15,M-1,25=0,5 Longrightarrow 0,15,M=1,75 Longrightarrow M=1,750,15approx11,6667 . Como e , cai na segunda parte (), onde