A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto em uma cidade é representada pela variável Y com função densidade dada por:
f(y)=89 y-49, 0,5 <= y<2
Verifique que a função f(t) satisfaz a definição de densidade, encontre a função de distribuição acumulada F(t) e obtenha:
Obs.: responda utilizando 3 casas decimais.
a) P(Y<0,8)=

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma variável aleatória contínua Y, representando gastos anuais (em milhões) com asfalto, cuja densidade é
f(y) ;=;89,y ;-;49, 0,5<= y<2,
e zero em outro lugar.
Conteúdo: Distribuição de probabilidade contínua, verificação de densidade e cálculo de função de distribuição acumulada (CDF).
O que vamos precisar:
  • Saber que a integral de sobre todo o suporte deve ser 1 (propriedade de densidade).
  • Saber construir a CDF pela integral de .
  • Calcular usando a CDF.

Passo 2

Verificar que integral-infty^infty f(y),dy = integral0.5^2l(tfrac89y - tfrac49r)dy = 1 é densidade, ou seja,
integral0.5^2 l(tfrac89y - tfrac49r)dy = [tfrac89,y^22 - tfrac49,y]0.5^2 = l(tfrac49,y^2 - tfrac49,yr)0.5^2
Vamos integrar:
Avalia em 2:
Avalia em 0,5:
Diferença: . OK!

Passo 3

Encontrar a CDF F(t)=integral0.5^t l(tfrac89y - tfrac49r)dy = [tfrac49y^2 - tfrac49y]0.5^t = l(tfrac49t^2 - tfrac49tr) - l(-tfrac19r) = 49t^2 - 49t + 19 :
Para , .
Para ,
Para , .

Passo 4

Calcular F(0,8)=49,(0,8)^2 - 49,(0,8) + 19 . Como F(0,8) = 0,2844 - 0,3555 + 0,1111 approx 0,040 , usamos
Calculando:
,


então

Resposta

(três casas decimais)

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