A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto em uma cidade é representada pela variável
com função densidade dada por:
Verifique que a função
satisfaz a definição de densidade, encontre a função de distribuição acumulada
e obtenha:
Obs.: responda utilizando 3 casas decimais.
c)
Verifique que a função
Obs.: responda utilizando 3 casas decimais.
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que temos uma variável aleatória contínua
que representa gastos anuais (em milhões de reais) e cuja densidade é
O que o enunciado pede:
- Verificar que
é uma densidade (ou seja, que integra 1). - Encontrar a função de distribuição acumulada
. - Calcular
.
Para isso a gente vai usar:
- A definição de densidade:
. - A definição de CDF:
. - A fórmula da esperança (média) para variável contínua:
.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se
.
- Escreve a integral:
- Integra termo a termo (regra do polinômio):
Então o antiderivado é
- Avalia de
até :
Calcula cada parte:
- Primeiro:
- Segundo:
Então
. Beleza, é densidade de verdade!
Passo 3
Agora a CDF:
Já sabemos o antiderivado
. Então
E, claro,
se
e
se
.
Passo 4
Hora da esperança:
Integra de novo termo a termo:
Ou seja, o antiderivado é
Avalia de
a
:
- Em
: - Em
:
Subtraindo: