A quantia gasta anualmente, em milhões de reais, na manutenção do asfalto em uma cidade é representada pela variável Y com função densidade dada por:
f(y)=89 y-49, 0,5 <= y<2
Verifique que a função f(t) satisfaz a definição de densidade, encontre a função de distribuição acumulada F(t) e obtenha:
Obs.: responda utilizando 3 casas decimais.
c) E(Y)=

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício diz que temos uma variável aleatória contínua f(y)=89,y ;-;49, 0,5<= y<2 que representa gastos anuais (em milhões de reais) e cuja densidade é
O que o enunciado pede:
  1. Verificar que é uma densidade (ou seja, que integra 1).
  2. Encontrar a função de distribuição acumulada .
  3. Calcular .
Para isso a gente vai usar:
  • A definição de densidade: .
  • A definição de CDF: .
  • A fórmula da esperança (média) para variável contínua: .

Passo 2

Primeiro, vamos checar se integral0,5^2l(tfrac89y-tfrac49r),dy .
  1. Escreve a integral:
integral!tfrac89y,dy = tfrac89,y^22 e integral!tfrac49,dy = tfrac49,y
  1. Integra termo a termo (regra do polinômio):
A(y)=89,y^22 ;-;49,y = 49y^2 - 49y
Então o antiderivado é
A(2)-A(0,5) = l(tfrac49cdot4 - tfrac49cdot2r) - l(tfrac49cdot0,25 - tfrac49cdot0,5r)
  1. Avalia de até :
Calcula cada parte:
  • Primeiro:
  • Segundo:
Então . Beleza, é densidade de verdade!

Passo 3

Agora a CDF:
F(t) = integral0,5^tl(tfrac89y-tfrac49r),dy, para 0,5<= t<2
Já sabemos o antiderivado F(t) = A(t)-A(0,5) = l(tfrac49t^2-tfrac49tr) -l(-tfrac19r) = 4t^2-4t+19 . Então
E, claro, se e se .

Passo 4

Hora da esperança:
E(Y)=integral0,5^2y,f(y),dy =integral0,5^2yl(tfrac89y-tfrac49r),dy =integral0,5^2l(tfrac89y^2-tfrac49yr),dy
Integra de novo termo a termo:
integral tfrac89y^2,dy = tfrac89,y^33, integral tfrac49y,dy = tfrac49,y^22
Ou seja, o antiderivado é
B(y)=827y^3 - 29y^2
Avalia de tfrac4027 - l(-tfrac154r) = tfrac4027 + tfrac154 = tfrac80+154 = tfrac8154 = 1,5 a :
  • Em :
  • Em :
Subtraindo:

Resposta

(milhões de reais)

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