A quantidade de retas tangentes à curva polar r=cos (theta2) que são verticais é?
a) 0 ,
b) 2 ,
c) 4 ,
d) 6
8) 8

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de retas tangentes verticais à curva polar
r = cos!l(tfractheta2r)
O que precisamos é a condição para tangente vertical em coordenadas polares:
dydx=r'(theta),sintheta + r(theta),costheta r'(theta),costheta - r(theta),sintheta,
onde a reta é vertical se o denominador se anula e o numerador não se anula.

Passo 2

Calcular r'(theta). Como r(theta)=cos(theta/2), temos
r'(theta)=-tfrac12sin!l(tfractheta2r)
O denominador do coeficiente angular é
D(theta) =r'(theta)costheta - r(theta)sintheta =-tfrac12sin!l(tfractheta2r)costheta -cos!l(tfractheta2r)sintheta
Queremos D(theta)=0 e ao mesmo tempo o numerador
N(theta) =r'(theta)sintheta + r(theta)costheta
não pode ser zero.

Passo 3

Em vez de expandir D(theta), use a forma trigonométrica tan (identidade) para achar os theta que anulam
D(theta)=0 ;Long<=ftrightarrow; tantheta + tfrac12tan!l(tfractheta2r)=0
Seja u=tan(theta/2). Então tantheta=2u/(1-u^2) e a equação vira
2u1-u^2+12,u=0 ;Long<=ftrightarrow; ul(41-u^2+1r)=0 ;Long<=ftrightarrow; u=0ou u^2=5

Passo 4

Traduzindo de volta, tan(theta/2)=0 theta=0 e theta=2pi (em [0,2pi) são dois ângulos distintos do ponto de vista do traçado), e tan(theta/2)=pmraiz5 dá dois valores não colineares em [0,2pi). Ao total são quatro valores de theta que anulam o denominador; verifica-se que, para esses theta, o numerador N(theta) não se anula (basta checar que r(theta) e r'(theta) não simultaneamente anulam a combinação).

Resposta

4

Exercícios relacionados