Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem, encontre a soma das que convergem:
sumn=1^+infty (-1)^n+1 pi^n+1e^n-1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty(-1)^n+1,pi^n+1e^n-1
Isso envolve reconhecimento de uma série geométrica e aplicação do critério de convergência para séries geométricas, que diz que
sum a,r^n converge se, e somente se, lvert rrvert<1.

Passo 2

Definimos
an = (-1)^n+1,pi^n+1e^n-1
e calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (-1)^n+2,pi^n+2/e^n (-1)^n+1,pi^n+1/e^,n-1 = -,pie
Portanto a série é geométrica com razão r = -pi/e.

Passo 3

Para convergence de uma série geométrica precisamos de
llvert rrrvert < 1
Aqui
llvert rrrvert = pie
Como piapprox3,14 e eapprox2,72, tem-se pi/e>1.

Resposta

A série diverge.

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