Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem, encontre a soma das que convergem:
sumn=1^+infty (-1)^n+12^2 n+1

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da série \r
sumn=1^+infty(-1)^n+12^2n+1\r
e, caso ela convirja, calcular sua soma. O conteúdo aqui envolve teste de convergência de séries (alternantes e absolutas) e soma de séries geométricas.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Série Alternante (Critério de Leibniz). Definimos \r
;an = 12^2n+1,, \r
então o termo geral é (-1)^n+1an. Observamos que:\r
  1. an>0 para todo n.\r
  2. an+1 = 12^2(n+1)+1 = 12^2n+3 < 12^2n+1 = an. Logo, (an) é decrescente.\r
  3. limntoinftyan = limntoinfty12^2n+1=0.\r
    \r
    Pelas condições do Critério de Leibniz, a série alternante converge.

Passo 3

Agora verificamos a convergência absoluta. Consideramos \r
sumn=1^+inftygl|(-1)^n+12^2n+1gr| = sumn=1^+infty12^2n+1 \r
Essa é uma série geométrica de primeiro termo \r
a = 12^2cdot1+1=18 \r
e razão \r
r=1/2^2(n+1)+11/2^2n+1=12^2=14, \r
com |r|<1. Logo ela converge absolutamente.

Passo 4

Para achar a soma da série original note que também é geométrica, pois \r
(-1)^n+12^2n+1 = l(-tfrac14r)^,n-1,(-1)^22^3 = l(-tfrac14r)^,n-1,18 \r
Assim o primeiro termo é \r
a1=(-1)^22^3=18 \r
e a razão é \r
r=-tfrac14. \r
A soma de uma geométrica infinita é \r
sumn=1^inftya1,r^,n-1=a11-r=tfrac181-(-tfrac14)=tfrac181+tfrac14=tfrac18tfrac54=110

Resposta

A série converge (inclusive absolutamente) e sua soma é 110.

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