Verifique se as séries a seguir convergem ou divergem, encontre a soma das que convergem:
Passo 1
O enunciado nos pede para estudar a convergência da série \r
\r
e, caso ela convirja, calcular sua soma. O conteúdo aqui envolve teste de convergência de séries (alternantes e absolutas) e soma de séries geométricas.
Passo 2
Vamos aplicar o Teste da Série Alternante (Critério de Leibniz). Definimos \r
\r
então o termo geral é . Observamos que:\r
para todo .\r
. Logo, é decrescente.\r
.\r
\r
Pelas condições do Critério de Leibniz, a série alternante converge.
Passo 3
Agora verificamos a convergência absoluta. Consideramos \r
\r
Essa é uma série geométrica de primeiro termo \r a = 12^2cdot1+1=18 \r
e razão \r r=1/2^2(n+1)+11/2^2n+1=12^2=14, \r
com |r|<1. Logo ela converge absolutamente.
Passo 4
Para achar a soma da série original note que também é geométrica, pois \r