Resolva o problema de valor inicial
d yd t+y & =t e^-t y(0) & =1
e calcule y(1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial. A gente tem a equação dydt + y = t e^-t com a condição inicial y(0) = 1. O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar aplicar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Ela está na forma padrão dydt + P(t)y = Q(t), onde P(t) = 1 e Q(t) = t e^-t. O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a resolução.

Passo 3

O fator integrante ( mu(t)) é dado por e^integral P(t) dt. Como P(t) = 1, vamos calcular:
mu(t) = e^integral 1 , dt = e^t

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante mu(t) = e^t:
e^t cdot dydt + e^t cdot y = e^t cdot t e^-t
Simplificando o lado direito:
e^t cdot t e^-t = t
Então, a equação fica:
e^t dydt + e^t y = t

Passo 5

A expressão à esquerda agora é a derivada do produto y e^t. Ou seja:
ddt(y e^t) = t
Isso facilita bastante, porque agora vamos integrar ambos os lados em relação a t.

Passo 6

Integrando ambos os lados:
integral ddt(y e^t) , dt = integral t , dt
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente y e^t. Do lado direito:
integral t , dt = t^22 + C
Então, temos:
y e^t = t^22 + C

Passo 7

Agora, vamos resolver para y:
y = e^-t ( t^22 + C )

Passo 8

Usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de C. Substituindo t = 0 e y = 1:
1 = e^0 ( 0^22 + C ) Rightarrow 1 = 1 cdot C Rightarrow C = 1

Passo 9

Com C = 1, a solução geral fica:
y = e^-t ( t^22 + 1 )

Passo 10

Agora, queremos calcular y(1). Substituindo t = 1 na expressão:
y(1) = e^-1 ( 1^22 + 1 ) = e^-1 ( 12 + 1 ) = e^-1 cdot 32
Podemos deixar a resposta assim ou calcular numericamente se preferir.

Resposta

y(1) = 32 e^-1

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