Quanto meses são necessários para que uma aplicação de R$ 26.000,00se acumule em um montante de R$ 45.000,00, a uma taxa anual de juros compostos de 10 \% ?

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação de P = 26\,000 reais que deve crescer até um montante de A = 45\,000 reais, a uma taxa anual de juros compostos de 10\%. O objetivo é encontrar o tempo em meses necessário para isso.

Passo 2

Em regime de juros compostos, o montante A após t anos é dado por
A = P \bigl(1 + i\bigr)^{t},
onde i é a taxa anual (no nosso caso i = 0,10) e t está em anos.

Passo 3

Para achar t, isolamos na fórmula:
t = \frac{\ln\bigl(A/P\bigr)}{\ln\bigl(1+i\bigr)}.

Passo 4

Calculamos a razão A/P e os logaritmos:
\frac{A}{P} = \frac{45\,000}{26\,000} \approx 1{,}730769,
\ln\bigl(1{,}730769\bigr) \approx 0{,}54835,
\ln\bigl(1+0{,}10\bigr) = \ln(1{,}10) \approx 0{,}09531.
Logo,
t \approx \frac{0{,}54835}{0{,}09531} \approx 5{,}75\\ \text{anos}.

Passo 5

Convertendo t de anos para meses:
\text{meses} = t \times 12 \approx 5{,}75 \times 12 \approx 69\\ \text{meses}.

Resposta

A aplicação precisará de aproximadamente 69 meses para chegar a R$ 45000,00.

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