Em quanto tempo quadruplica um capital que cresce à taxa de 13 \% ao semestre juros compostos?

Passo 1

O enunciado diz que um capital cresce a uma taxa de 13\% ao semestre, com juros compostos, e pergunta em quanto tempo esse capital quadruplica. Para isso, vamos usar a fórmula do montante em juros compostos:
M = C\,(1+i)^n,
onde C é o capital inicial, i é a taxa por período e n é o número de períodos.

Passo 2

Aqui queremos que o montante seja quatro vezes o capital inicial, isto é M = 4C. A taxa é
i = 13\% = 0{,}13.
Substituindo em M = C\,(1+i)^n, obtemos
4C = C\,(1{,}13)^n.
Cancelando C dos dois lados, fica
4 = (1{,}13)^n.

Passo 3

Para isolar n, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln(4) = \ln\bigl((1{,}13)^n\bigr) = n\;\ln(1{,}13).
Logo,
n = \frac{\ln(4)}{\ln(1{,}13)}.

Passo 4

Calculando numericamente, temos
\ln(4)\approx 1,3863, \qquad \ln(1{,}13)\approx 0,1222,
portanto
n \approx \frac{1,3863}{0,1222} \approx 11,35.
Isso significa 11,35 semestres.

Passo 5

Se quisermos converter semestres em anos, lembramos que cada semestre tem 6 meses. Então
11,35\\ \text{semestres} \times 6\\ \frac{\text{meses}}{\text{semestre}} \approx 68,1\\ \text{meses},
ou seja, cerca de 5 anos e 8 meses.

Resposta

O capital quadruplica em cerca de 11{,}35 semestres, ou aproximadamente 5 anos e 8 meses.

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