Quanto vale x na equação 7^{x}-4^{x}=33.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
7^x - 4^x = 33.
Estamos no tema de equações com função exponencial e vamos usar propriedade de monotonicidade e teste de valores inteiros para encontrar x.

Passo 2

Definimos
f(x) = 7^x - 4^x - 33.
Para ver quantas soluções existem, calculamos a derivada
f'(x) = 7^x \ln 7 \;-\; 4^x \ln 4.
Como para todo x temos 7^x\ln7 > 4^x\ln4, segue que
f'(x) > 0
ou seja, f é estritamente crescente e só pode ter uma única raiz real.

Passo 3

Basta agora testar valores inteiros para localizar essa raiz:
f(1) = 7^1 - 4^1 - 33 = 7 - 4 - 33 = -30 < 0,
f(2) = 7^2 - 4^2 - 33 = 49 - 16 - 33 = 0.
Logo x=2 zera f e, por monotonicidade, é a única solução.

Resposta

x = 2

Exercícios relacionados