- Quantos inteiros entre 1 e 1000 inclusive:
b) são divisíveis por nenhum dos números
e 10 ?
b) são divisíveis por nenhum dos números
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para descobrir quantos números inteiros entre 1 e 1000, inclusive, não são divisíveis por nenhum dos números 2, 3, 7 e 10. Para isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Princípio da Inclusão-Exclusão, que ajuda a contar elementos que satisfazem certas condições, evitando contagens repetidas. Vamos precisar calcular quantos números são divisíveis por cada um desses números e combinar essas informações para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos contar quantos números entre 1 e 1000 são divisíveis por 2. Para isso, dividimos 1000 por 2:
Então, existem 500 números divisíveis por 2.
Passo 3
Agora, vamos contar quantos números são divisíveis por 3:
Como estamos lidando com números inteiros, consideramos apenas a parte inteira, ou seja, 333 números são divisíveis por 3.
Passo 4
Em seguida, contamos os números divisíveis por 7:
Arredondando para baixo, temos 142 números divisíveis por 7.
Passo 5
Agora, vamos ver quantos números são divisíveis por 10:
Então, há 100 números divisíveis por 10.
Passo 6
Até aqui, somamos os números divisíveis por cada um dos quatro números. Mas alguns números são divisíveis por mais de um desses números, e os contamos duas vezes. Para corrigir isso, precisamos subtrair as contagens dos números que são divisíveis por pares de números.
Primeiro, vamos contar os números divisíveis por 2 e 3 (ou seja, 6):
Então, há 166 números divisíveis por 6.
Passo 7
Agora, números divisíveis por 2 e 7 (14):
Há 71 números divisíveis por 14.
Passo 8
Próximo, números divisíveis por 2 e 10 (10, já que 10 é múltiplo de 2):
Então, 100 números são divisíveis por 10.
Passo 9
Agora, números divisíveis por 3 e 7 (21):
Há 47 números divisíveis por 21.
Passo 10
Em seguida, números divisíveis por 3 e 10 (30):
Então, 33 números são divisíveis por 30.
Passo 11
Agora, números divisíveis por 7 e 10 (70):
Há 14 números divisíveis por 70.
Passo 12
Até agora, subtraímos as duplicatas dos pares. Mas agora, alguns números são divisíveis por três desses números ao mesmo tempo, e subtraímos demais. Então, precisamos adicionar de volta os números que são divisíveis por tripletos.
Primeiro, números divisíveis por 2, 3 e 7 (42):
Há 23 números divisíveis por 42.
Passo 13
Agora, números divisíveis por 2, 3 e 10 (30):
Há 33 números divisíveis por 30.
Passo 14
Em seguida, números divisíveis por 2, 7 e 10 (70):
Então, 14 números são divisíveis por 70.
Passo 15
Finalmente, números divisíveis por 3, 7 e 10 (210):
Há 4 números divisíveis por 210.
Passo 16
Por último, precisamos subtrair os números que são divisíveis por todos os quatro números juntos (2, 3, 7 e 10). Isso corresponde aos números divisíveis pelo mínimo múltiplo comum desses números. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 2, 3, 7 e 10 é 210:
Então, há 4 números divisíveis por 210.
Passo 17
Agora, aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão, somamos e subtraímos conforme calculamos:
Vamos calcular passo a passo:
Então, 714 números entre 1 e 1000 são divisíveis por pelo menos um dos números 2, 3, 7 ou 10.
Passo 18
Agora, para encontrar quantos números não são divisíveis por nenhum desses números, subtraímos esse total do total de números possíveis:
Resposta
Entre 1 e 1000, 286 números não são divisíveis por nenhum dos números 2, 3, 7 e 10.