• Quantos inteiros entre 1 e 1000 inclusive:
    b) são divisíveis por nenhum dos números 2,3,7 e 10 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O problema pede para descobrir quantos números inteiros entre 1 e 1000, inclusive, não são divisíveis por nenhum dos números 2, 3, 7 e 10. Para isso, vamos usar um conceito da matemática chamado Princípio da Inclusão-Exclusão, que ajuda a contar elementos que satisfazem certas condições, evitando contagens repetidas. Vamos precisar calcular quantos números são divisíveis por cada um desses números e combinar essas informações para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos contar quantos números entre 1 e 1000 são divisíveis por 2. Para isso, dividimos 1000 por 2:
10002 = 500
Então, existem 500 números divisíveis por 2.

Passo 3

Agora, vamos contar quantos números são divisíveis por 3:
10003 approx 333,33
Como estamos lidando com números inteiros, consideramos apenas a parte inteira, ou seja, 333 números são divisíveis por 3.

Passo 4

Em seguida, contamos os números divisíveis por 7:
10007 approx 142,86
Arredondando para baixo, temos 142 números divisíveis por 7.

Passo 5

Agora, vamos ver quantos números são divisíveis por 10:
100010 = 100
Então, há 100 números divisíveis por 10.

Passo 6

Até aqui, somamos os números divisíveis por cada um dos quatro números. Mas alguns números são divisíveis por mais de um desses números, e os contamos duas vezes. Para corrigir isso, precisamos subtrair as contagens dos números que são divisíveis por pares de números.
Primeiro, vamos contar os números divisíveis por 2 e 3 (ou seja, 6):
10006 approx 166,67 Rightarrow 166
Então, há 166 números divisíveis por 6.

Passo 7

Agora, números divisíveis por 2 e 7 (14):
100014 approx 71,43 Rightarrow 71
71 números divisíveis por 14.

Passo 8

Próximo, números divisíveis por 2 e 10 (10, já que 10 é múltiplo de 2):
100010 = 100
Então, 100 números são divisíveis por 10.

Passo 9

Agora, números divisíveis por 3 e 7 (21):
100021 approx 47,62 Rightarrow 47
47 números divisíveis por 21.

Passo 10

Em seguida, números divisíveis por 3 e 10 (30):
100030 approx 33,33 Rightarrow 33
Então, 33 números são divisíveis por 30.

Passo 11

Agora, números divisíveis por 7 e 10 (70):
100070 approx 14,29 Rightarrow 14
14 números divisíveis por 70.

Passo 12

Até agora, subtraímos as duplicatas dos pares. Mas agora, alguns números são divisíveis por três desses números ao mesmo tempo, e subtraímos demais. Então, precisamos adicionar de volta os números que são divisíveis por tripletos.
Primeiro, números divisíveis por 2, 3 e 7 (42):
100042 approx 23,81 Rightarrow 23
23 números divisíveis por 42.

Passo 13

Agora, números divisíveis por 2, 3 e 10 (30):
100030 approx 33,33 Rightarrow 33
33 números divisíveis por 30.

Passo 14

Em seguida, números divisíveis por 2, 7 e 10 (70):
100070 approx 14,29 Rightarrow 14
Então, 14 números são divisíveis por 70.

Passo 15

Finalmente, números divisíveis por 3, 7 e 10 (210):
1000210 approx 4,76 Rightarrow 4
4 números divisíveis por 210.

Passo 16

Por último, precisamos subtrair os números que são divisíveis por todos os quatro números juntos (2, 3, 7 e 10). Isso corresponde aos números divisíveis pelo mínimo múltiplo comum desses números. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 2, 3, 7 e 10 é 210:
1000210 approx 4,76 Rightarrow 4
Então, há 4 números divisíveis por 210.

Passo 17

Agora, aplicando o Princípio da Inclusão-Exclusão, somamos e subtraímos conforme calculamos:
Total divisíveis por pelo menos um = 500 + 333 + 142 + 100 - 166 - 71 - 100 - 47 - 33 - 14 + 23 + 33 + 14 + 4 - 4 í
Vamos calcular passo a passo:
500 + 333 = 833
833 + 142 = 975
975 + 100 = 1075
1075 - 166 = 909
909 - 71 = 838
838 - 100 = 738
738 - 47 = 691
691 - 33 = 658
658 - 14 = 644
644 + 23 = 667
667 + 33 = 700
700 + 14 = 714
714 + 4 = 718
718 - 4 = 714
Então, 714 números entre 1 e 1000 são divisíveis por pelo menos um dos números 2, 3, 7 ou 10.

Passo 18

Agora, para encontrar quantos números não são divisíveis por nenhum desses números, subtraímos esse total do total de números possíveis:
1000 - 714 = 286

Resposta

Entre 1 e 1000, 286 números não são divisíveis por nenhum dos números 2, 3, 7 e 10.

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