De quantos modos podemos distribuir 10 bolas iguais em 3 urnas distintas, de modo que nenhuma urna fique vazia?
Passo 1
O enunciado quer saber “de quantos jeitos posso colocar 10 bolas todas iguais em 3 urnas diferentes, de modo que nenhuma urna fique vazia?”.
Conteúdo: combinação com repetição (estrela‐e‐barras).
O que precisamos: saber que distribuir objetos idênticos em
caixas, cada caixa com pelo menos uma unidade, é contar as soluções positivas de
Conteúdo: combinação com repetição (estrela‐e‐barras).
O que precisamos: saber que distribuir
e que essa quantidade vale
Passo 2
Como cada urna não pode ficar vazia, a gente faz o truque de dar 1 bola para cada uma já de cara. Isso gasta 3 bolas, sobrando
bolas para distribuir livremente (pode deixar urnas com zero dessas 7 extras).
Definimos então
de modo que agora
com
Passo 3
Para contar soluções não‐negativas de
, usamos a fórmula de combinação com repetição (estrela‐e‐barras):
Passo 4
Basta calcular
Resposta
36 maneiras.