De quantos modos podemos distribuir 10 bolas iguais em 3 urnas distintas, de modo que nenhuma urna fique vazia?

Passo 1

O enunciado quer saber “de quantos jeitos posso colocar 10 bolas todas iguais em 3 urnas diferentes, de modo que nenhuma urna fique vazia?”.
Conteúdo: combinação com repetição (estrela‐e‐barras).
O que precisamos: saber que distribuir n objetos idênticos em k caixas, cada caixa com pelo menos uma unidade, é contar as soluções positivas de
x1 + x2 + dots + xk = n
e que essa quantidade vale
binomn-1k-1,

Passo 2

Como cada urna não pode ficar vazia, a gente faz o truque de dar 1 bola para cada uma já de cara. Isso gasta 3 bolas, sobrando
10 - 3 = 7
bolas para distribuir livremente (pode deixar urnas com zero dessas 7 extras).
Definimos então
yi = xi - 1(i=1,2,3),
de modo que agora
y1 + y2 + y3 = 7
com yi >= 0.

Passo 3

Para contar soluções não‐negativas de y1+y2+y3=7, usamos a fórmula de combinação com repetição (estrela‐e‐barras):
# = binom7 + 3 - 13 - 1 = binom92,

Passo 4

Basta calcular
binom92 = 9cdot82cdot1 = 36,

Resposta

36 maneiras.

Exercícios relacionados