- De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 5 meninos e 5 meninas, separados por sexo.
Passo 1
O enunciado: temos
meninos e
meninas formando uma roda de ciranda. A condição dada é “separados por sexo”. A pergunta é: de quantos modos podemos formar essa roda (contando arranjos distintos até rotações iguais)?
Informações relevantes:
- Há
meninos e meninas. - As pessoas ficam dispostas em círculo (roda de ciranda).
- Existe a restrição indicada por “separados por sexo” (vou tratar as interpretações possíveis em passos seguintes).
- Queremos o número total de arranjos distintos, considerando que rotações da roda representam o mesmo arranjo.
Passo 2
Interpretação da restrição “separados por sexo” e escolha do método:
- Essa frase pode ser interpretada de duas maneiras razoáveis: (A) os meninos e as meninas devem ficar alternados (ou seja, cada pessoa tem vizinhos de sexo oposto); (B) os meninos ficam todos juntos como um bloco e as meninas ficam todas juntas como outro bloco (ou seja, agrupados por sexo).
- Vou resolver explicitamente a situação (A) — que é a mais comum em exercícios — e em seguida mostrar a situação (B) para verificar: curioso que ambas as interpretações finais dão o mesmo número, então ficamos tranquilos se o enunciado tiver sido ambíguo.
Passo 3
Conceito importante: permutações circulares e por que usamos
.
- Quando colocamos
pessoas em um círculo e consideramos rotações como equivalentes (ou seja, girar a roda não cria um arranjo novo), o número de arranjos distintos é
- Explicação didática: num arranjo linear as
pessoas cabem em ordens. Em círculo, qualquer uma das rotações de uma ordem linear representa a mesma disposição circular; portanto dividimos por e obtemos . Outra forma prática: “fixamos” uma pessoa em um lugar (isso quebra a simetria de rotação) e permutamos as restantes em ordem linear, dando . - Exemplo simples: para
pessoas em círculo há arranjos distintos.
Passo 4
Resolver a interpretação (A): meninos e meninas alternados.
- Estratégia: primeiro colocamos os meninos em torno da roda, depois colocamos as meninas nos espaços entre os meninos.
- Colocando os
meninos em círculo temos maneiras, isto é
- Depois de fixar a ordem circular dos meninos, há exatamente
espaços entre eles (um espaço entre cada par de meninos consecutivos) e devemos colocar as meninas nesses espaços, em qualquer ordem. O número de ordens das meninas é
- Pelo princípio multiplicativo (se uma etapa pode ser feita de
formas e uma etapa independente de formas, as duas juntas podem ser feitas de formas), o total é
Passo 5
Cálculo numérico da interpretação (A).
- Calcule
e :
- Multiplicando:
Passo 6
Resolver a interpretação (B): todos os meninos juntos (um bloco) e todas as meninas juntas (outro bloco).
- Método prático: para eliminar simetria de rotação, fixamos um menino específico numa posição (por exemplo, o menino
). Com fixo, os outros meninos devem ocupar os lugares consecutivos do bloco masculino; eles podem ser permutados entre si de formas. - As
meninas ocupam os outros lugares consecutivos e podem ser permutadas entre si de formas. - Novamente, pelo princípio multiplicativo, o total é
Passo 7
Cálculo numérico da interpretação (B) e observação final.
- Como antes,
- Observação: curiosamente tanto o caso (A) (alternando sexes) quanto o caso (B) (grupos por sexo) levam ao mesmo número final
. Assim, independentemente da interpretação razoável de “separados por sexo”, o número de arranjos distintos na roda é o mesmo.