1. De quantos modos podemos formar uma roda de ciranda com 5 meninos e 5 meninas, separados por sexo.

Passo 1

O enunciado: temos 5 meninos e 5 meninas formando uma roda de ciranda. A condição dada é “separados por sexo”. A pergunta é: de quantos modos podemos formar essa roda (contando arranjos distintos até rotações iguais)?
Informações relevantes:
  • 5 meninos e 5 meninas.
  • As pessoas ficam dispostas em círculo (roda de ciranda).
  • Existe a restrição indicada por “separados por sexo” (vou tratar as interpretações possíveis em passos seguintes).
  • Queremos o número total de arranjos distintos, considerando que rotações da roda representam o mesmo arranjo.

Passo 2

Interpretação da restrição “separados por sexo” e escolha do método:
  • Essa frase pode ser interpretada de duas maneiras razoáveis: (A) os meninos e as meninas devem ficar alternados (ou seja, cada pessoa tem vizinhos de sexo oposto); (B) os meninos ficam todos juntos como um bloco e as meninas ficam todas juntas como outro bloco (ou seja, agrupados por sexo).
  • Vou resolver explicitamente a situação (A) — que é a mais comum em exercícios — e em seguida mostrar a situação (B) para verificar: curioso que ambas as interpretações finais dão o mesmo número, então ficamos tranquilos se o enunciado tiver sido ambíguo.

Passo 3

Conceito importante: permutações circulares e por que usamos (n-1)!.
  • Quando colocamos n pessoas em um círculo e consideramos rotações como equivalentes (ou seja, girar a roda não cria um arranjo novo), o número de arranjos distintos é
(n-1)!
  • Explicação didática: num arranjo linear as n pessoas cabem em n! ordens. Em círculo, qualquer uma das n rotações de uma ordem linear representa a mesma disposição circular; portanto dividimos por n e obtemos n!/n=(n-1)!. Outra forma prática: “fixamos” uma pessoa em um lugar (isso quebra a simetria de rotação) e permutamos as n-1 restantes em ordem linear, dando (n-1)!.
  • Exemplo simples: para 4 pessoas em círculo há (4-1)! = 6 arranjos distintos.

Passo 4

Resolver a interpretação (A): meninos e meninas alternados.
  • Estratégia: primeiro colocamos os meninos em torno da roda, depois colocamos as meninas nos espaços entre os meninos.
  • Colocando os 5 meninos em círculo temos (5-1)! maneiras, isto é
(5-1)! = 4!.
  • Depois de fixar a ordem circular dos meninos, há exatamente 5 espaços entre eles (um espaço entre cada par de meninos consecutivos) e devemos colocar as 5 meninas nesses 5 espaços, em qualquer ordem. O número de ordens das meninas é
5!.
  • Pelo princípio multiplicativo (se uma etapa pode ser feita de a formas e uma etapa independente de b formas, as duas juntas podem ser feitas de a\cdot b formas), o total é
4! \times 5!.

Passo 5

Cálculo numérico da interpretação (A).
  • Calcule 4! e 5!:
4! = 4\times3\times2\times1 = 24,
5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120.
  • Multiplicando:
4!\times5! = 24\times120 = 2880.

Passo 6

Resolver a interpretação (B): todos os meninos juntos (um bloco) e todas as meninas juntas (outro bloco).
  • Método prático: para eliminar simetria de rotação, fixamos um menino específico numa posição (por exemplo, o menino M_1). Com M_1 fixo, os outros 4 meninos devem ocupar os 4 lugares consecutivos do bloco masculino; eles podem ser permutados entre si de 4! formas.
  • As 5 meninas ocupam os outros 5 lugares consecutivos e podem ser permutadas entre si de 5! formas.
  • Novamente, pelo princípio multiplicativo, o total é
4! \times 5!.

Passo 7

Cálculo numérico da interpretação (B) e observação final.
  • Como antes,
4!\times5! = 24\times120 = 2880.
  • Observação: curiosamente tanto o caso (A) (alternando sexes) quanto o caso (B) (grupos por sexo) levam ao mesmo número final 2880. Assim, independentemente da interpretação razoável de “separados por sexo”, o número de arranjos distintos na roda é o mesmo.

Resposta

2880

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